ウッダル数

ウッダル数（ウッダルすう、英: Woodall number）とは、 $n \times 2 n - 1$ （ $n$ は自然数）の形の自然数のことである。これを $W n$ で表すことが多い。1917年、アラン・カニンガムとハーバート・ウッダル（英語版）は、ジェームズ・カレン（英語版）により先行して研究されていた類似した数式で定義されるカレン数を参考に、初めてウッダル数について研究した^[1]。ウッダル数の列は

1, 7, 23, 63, 159, 383, 895, … オンライン整数列大辞典の数列 A003261.

である。

基本的な性質

整除性

ウッダル数はカレン数と同様にいくつかの整除性をもつ。例えば、pが素数であるとき、以下が成り立つ。

ヤコビ記号 $\left({\frac {2}{p}}\right)$ が $+1$ の場合、 $p\mid W_{(p+1)/2}$ である。
ヤコビ記号 $\left({\frac {2}{p}}\right)$ が $-1$ の場合、 $p\mid W_{(3p-1)/2}$ である。

ウッダル素数

ウッダル素数（ウッダルそすう、英: Woodall prime）とは、素数であるウッダル数のことである。具体的には

7, 23, 383, 32212254719,… オンライン整数列大辞典の数列 A050918

である。またこのときの指数部にあたる p の値は

p =2, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, 362, 384, \dots

オンライン整数列大辞典の数列 A002234

における $W p$ がそうである。

2018年1月現在知られている最大のウッダル素数は、2008年 1月に分散コンピューティングによるプロジェクトのPrimeGridで発見された1,129,757桁整数の $3752948\times2 3752948 - 1$ である^[2]。

脚注

^ Cunningham, A. J. C; Woodall, H. J.（英語版） (1917), “Factorisation of $Q=(2^{q}\mp q)$ and $(q\cdot {2^{q}}\mp 1)$ ”, Messenger of Mathematics 47: 1–38
^ “The Prime Database: 938237*2^3752950-1”, Chris Caldwell's The Largest Known Primes Database January 22, 2018閲覧。

関連項目

カレン数 - $n \times 2 n + 1$ の形の自然数

表話編歴素数の分類
生成式	フェルマー ( $2 2 n + 1$ ) メルセンヌ ( $2 p - 1$ ) 二重メルセンヌ ( $2 2 p -1 - 1$ ) ワグスタッフ ( $(2 p + 1)/3$ ) プロス ( $k \cdot2 n + 1$ ) 階乗 ( $n! \pm 1$ ) 素数階乗 ( $p n # \pm 1$ ) ユークリッド ( $p n # + 1$ ) ピタゴラス ( $4 n + 1$ ) ピアポント ( $2 u \cdot3 v + 1$ ) Quartan（英語版） ( $x 4 + y 4$ ) ソリナス（英語版） ( $2 a \pm 2 b \pm 1$ ) カレン ( $n \cdot2 n + 1$ ) ウッダル ( $n \cdot2 n - 1$ ) Cuban（英語版） ( $(x 3 - y 3)/(x - y)$ ) キャロル ( $(2 n - 1) 2 - 2$ ) Kynea ( $(2 n + 1) 2 - 2$ ) レイランド ( $x y + y x$ ) サービト ( $3\cdot2 n - 1$ ) ミルズ ( $[A] 3 n$ )
漸化式（英語版）	フィボナッチリュカペルニューマン–シャンクス–ウィリアムズペラン分割ベルモツキン
各種の性質	ヴィーフェリッヒ（英語版） (対（英語版）) ウォール–孫–孫（英語版）ウォルステンホルムウィルソン幸運フォーチュンラマヌジャン（英語版）ピライ正則強（英語版）スターン Supersingular (楕円曲線)（英語版） Supersingular (ムーンシャイン理論)（英語版）良いスーパーヒッグス（英語版）高度コトーティエント（英語版）
基数依存	ハッピー二面体回文エマープレピュニット ( $(10 n - 1)/9$ ) 置換可能 Circular（英語版）切り捨て可能 Strobogrammatic（英語版） Minimal（英語版）弱いフルサイクルプライム Unique（英語版） Primeval（英語版）自己スマランダチェ–ウェラン（英語版）
組	互いに素双子 ( $p, p + 2$ ) Bi-twin chain ( $n - 1, n + 1, 2 n - 1, 2 n + 1, \dots$ ) 三つ子 ( $p, p + 2$ or $p + 4, p + 6$ ) 四つ子 ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ) k−Tuple いとこ ( $p, p + 4$ ) セクシー ( $p, p + 6$ ) 陳ソフィー・ジェルマン ( $p, 2 p + 1$ ) カニンガム鎖 ( $p, 2 p \pm 1, \dots$ ) 安全 ( $p, (p - 1)/2$ ) 算術数列（英語版） ( $p + an; n = 0, 1, \dots$ ) 平衡 ( $p - n, p, p + n$ )
桁数	タイタニック ( $103$ 桁以上) 巨大 ( $104$ 桁以上) メガ ( $106$ 桁以上)
複素数	アイゼンシュタイン素数（英語版）ガウス素数
合成数	擬素数概素数半素数楔数 Interprime（英語版）
関連する話題	確率的素数 Industrial-grade prime（英語版）違法素数素数の公式（英語版）素数の間隔『巨大な素数の一覧』
最初の50個	$2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$ $61$ $67$ $71$ $73$ $79$ $83$ $89$ $97$ $101$ $103$ $107$ $109$ $113$ $127$ $131$ $137$ $139$ $149$ $151$ $157$ $163$ $167$ $173$ $179$ $181$ $191$ $193$ $197$ $199$ $211$ $223$ $227$ $229$
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