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数論におけるウォルステンホルム素数（ウォルステンホルムそすう、英: Wolstenholme prime）とは、強い形のウォルステンホルムの定理（英語版）を満たすような特別な形をした素数のことである。例えばウォルステンホルムの定理から5以上の素数 p において p−1 までの逆数の和を表す分数の分子は p² を因数にもつことは知られている。この分数の分子が p³ の因数をもつ素数の事である。名称は19世紀にこの定理を初めて記述した数学者ジョセフ・ウォルステンホルム（英語版）にちなむ。

ウォルステンホルム素数への最初の興味が湧き上がったのは、また別の数学的重要性を持つフェルマーの最終定理との関連によってであった。ウォルステンホルム素数は、この定理を一般的に証明すべく研究された、他の特別な数の集合とも関係している。

既知のウォルステンホルム素数は、16843 と 2124679 のみである（オンライン整数列大辞典の数列 A088164）。10⁹ 以下にはこれ以外にウォルステンホルム素数は存在しない^[1]。

定義

ウォルステンホルム素数にはいくつかの同値な定義がある。

二項係数による定義

素数 p > 7 は、次の合同関係を満たすときウォルステンホルム素数という^[2]。

{2p-1 \choose p-1}\equiv 1{\pmod {p^{4}}}

ここで左辺は二項係数。

一方ウォルステンホルムの定理によれば、p > 3 なる全ての素数に対し次が成り立つ。

{2p-1 \choose p-1}\equiv 1{\pmod {p^{3}}}

ベルヌーイ数による定義

素数 p は、ベルヌーイ数 B_p−3 の分子を割り切るときウォルステンホルム素数という^[3]^[4]^[5]。よってウォルステンホルム素数は非正則素数の部分集合である。

非正則素数による定義

→詳細は「正則素数」を参照

素数 p は、(p, p–3) が非正則素数の対になるときウォルステンホルム素数という^[6]^[7]。

調和数による定義

素数 p は、調和数 $H_{p-1}$ を既約分数で表したときの分子が p³ で割り切れるときウォルステンホルム素数という^[8]。

研究とその現状

ウォルステンホルム素数の研究は1960年代に始まってから数十年にわたり続いている。最新の結果は2007年に発表された。最小のウォルステンホルム素数 16843 は1964年に発見されたが、当初は明示的に報告されていなかった^[9]。1964年の発見は後に1970年代の独立した発見により追認された。ほぼ20年間、これが唯一の既知のウォルステンホルム素数だったが、1993年に2番目のウォルステンホルム素数 2124679 の発見が公表された^[10]。

1.2×10⁷ までの範囲でこれら以外のウォルステンホルム素数はなく^[11]、この範囲は徐々に広げられた。具体的には2×10⁸以下（McIntosh, 1995年）^[4]、2.5×10⁸以下（Trevisan & Weber, 2001年）^[12]、10⁹以下^[13]、10¹¹以下（Booker et al., 2022年）^[14]。

ウォルステンホルム素数の個数の予想

ウォルステンホルム素数は無限個存在すると予想されている。また素数定理から x 以下のウォルステンホルム素数の個数は約 ln ln x 個（ ln は自然対数）だと予想されている。素数 p ≥ 5 に対しウォルステンホルム商 は

W_{p}{=}{\frac {{2p-1 \choose p-1}-1}{p^{3}}}

と定義される。明らかに、p がウォルステンホルム素数であることと W_p ≡ 0 (mod p) であることは同値である^[4]。数値計算からは、W_p を pで割った余りは {0, 1, ..., p–1} 上ランダムに分布することが示唆されている^[4]。

脚注

^ Weisstein, Eric W. "Wolstenholme prime". mathworld.wolfram.com (英語).
^ Cook, J. D.. “Binomial coefficients”. 21 December 2010閲覧。
^ Clarke & Jones 2004, p. 553.
^ ^a ^b ^c ^d McIntosh 1995, p. 387.
^ Zhao 2008, p. 25.
^ Johnson 1975, p. 114.
^ Buhler et al. 1993, p. 152.
^ Zhao 2007, p. 18.
^ Selfridge and Pollack published the first Wolstenholme prime in Selfridge & Pollack 1964, p. 97 (see McIntosh & Roettger 2007, p. 2092).
^ Ribenboim 2004, p. 23.
^ Zhao 2007, p. 25.
^ Trevisan & Weber 2001, p. 283–284.
^ McIntosh & Roettger 2007, p. 2092.
^ Booker et al. 2022.

参考文献

Selfridge, J. L.; Pollack, B. W. (1964), “Fermat's last theorem is true for any exponent up to 25,000”, Notices of the American Mathematical Society 11: 97
Johnson, W. (1975), “Irregular Primes and Cyclotomic Invariants”, Mathematics of Computation 29 (129): 113–120, doi:10.2307/2005468 Archived 2010-12-20 at WebCite
Buhler, J.; Crandall, R.; Ernvall, R.; Metsänkylä, T. (1993), “Irregular Primes and Cyclotomic Invariants to Four Million”, Mathematics of Computation 61 (203): 151–153, doi:10.2307/2152942 Archived 2010-11-12 at WebCite
McIntosh, R. J. (1995), “On the converse of Wolstenholme's Theorem”, Acta Arithmetica 71: 381–389 Archived 2010-11-08 at WebCite
Trevisan, V.; Weber, K. E. (2001), “Testing the Converse of Wolstenholme's Theorem”, Matemática Contemporânea 21: 275–286 Archived 2010-12-10 at WebCite
Ribenboim, P. (2004), “Chapter 2. How to Recognize Whether a Natural Number is a Prime”, The Little Book of Bigger Primes, New York: Springer-Verlag New York, Inc., ISBN 0-387-20169-6 Archived 2010-11-24 at WebCite
Clarke, F.; Jones, C. (2004), “A Congruence for Factorials”, Bulletin of the London Mathematical Society 36 (4): 553–558, doi:10.1112/S0024609304003194 Archived 2011-01-02 at WebCite
McIntosh, R. J.; Roettger, E. L. (2007), “A search for Fibonacci-Wieferich and Wolstenholme primes”, Mathematics of Computation 76: 2087–2094, Bibcode: 2007MaCom..76.2087M, doi:10.1090/S0025-5718-07-01955-2 Archived 2010-12-10 at WebCite
Zhao, J. (2007), “Bernoulli numbers, Wolstenholme's theorem, and p⁵ variations of Lucas' theorem”, Journal of Number Theory 123: 18–26, doi:10.1016/j.jnt.2006.05.005 Archived 2010-11-12 at WebCite
Zhao, J. (2008), “Wolstenholme Type Theorem for Multiple Harmonic Sums”, International Journal of Number Theory 4 (1): 73–106, doi:10.1142/s1793042108001146 Archived 2010-11-27 at WebCite
Booker, Andrew R.; Hathi, Shehzad; Mossinghoff, Michael J.; Trudgian, Timothy S. (2022). "Wolstenholme and Vandiver primes". The Ramanujan Journal (英語). Springer. 58 (3): 913–941. doi:10.1007/s11139-021-00438-3。

さらに詳しく

Babbage, C. (1819), “Demonstration of a theorem relating to prime numbers”, The Edinburgh Philosophical Journal 1: 46–49
Krattenthaler, C.; Rivoal, T. (2009), “On the integrality of the Taylor coefficients of mirror maps, II”, Communications in Number Theory and Physics 3, arXiv:0907.2578, Bibcode: 2009arXiv0907.2578K
Wolstenholme, J. (1862), “On Certain Properties of Prime Numbers”, The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics 5: 35–39

外部リンク

Caldwell, Chris K. Wolstenholme prime （"The Prime Glossary"より）
McIntosh, R. J. Wolstenholme Search Status as of March 2004 （e-mailはPaul Zimmermannまで）
Bruck, R. Wolstenholme's Theorem, Stirling Numbers, and Binomial Coefficients
Conrad, K. The p-adic Growth of Harmonic Sums （2つのウォルステンホルム素数を含む興味深い結果）

[1] Weisstein, Eric W. "Wolstenholme prime". mathworld.wolfram.com (英語).

[2] Cook, J. D.. “Binomial coefficients”. 21 December 2010閲覧。

[FOOTNOTEClarkeJones2004553-3] Clarke & Jones 2004, p. 553.

[FOOTNOTEMcIntosh1995387-4] McIntosh 1995, p. 387.

[FOOTNOTEZhao200825-5] Zhao 2008, p. 25.

[FOOTNOTEJohnson1975114-6] Johnson 1975, p. 114.

[FOOTNOTEBuhlerCrandallErnvallMetsänkylä1993152-7] Buhler et al. 1993, p. 152.

[FOOTNOTEZhao200718-8] Zhao 2007, p. 18.

[9] Selfridge and Pollack published the first Wolstenholme prime in Selfridge & Pollack 1964, p. 97 (see McIntosh & Roettger 2007, p. 2092).

[FOOTNOTERibenboim200423-10] Ribenboim 2004, p. 23.

[FOOTNOTEZhao200725-11] Zhao 2007, p. 25.

[FOOTNOTETrevisanWeber2001283–284-12] Trevisan & Weber 2001, p. 283–284.

[FOOTNOTEMcIntoshRoettger20072092-13] McIntosh & Roettger 2007, p. 2092.

[FOOTNOTEBookerHathiMossinghoffTrudgian2022-14] Booker et al. 2022.

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ウォルステンホルム素数

定義