Numero complesso iperbolico

In matematica, i numeri complessi iperbolici (o numeri complessi spezzati) sono un'estensione dei numeri reali, ottenuta aggiungendo ad essi un elemento non reale, usualmente indicato con il simbolo ${\displaystyle \varepsilon }$, e detto unità immaginaria iperbolica, il cui quadrato è uguale a ${\displaystyle 1}$. I numeri complessi iperbolici presentano numerose analogie con gli ordinari numeri complessi; a differenza di questi, però, non costituiscono un campo, ma solamente un anello.

I numeri complessi iperbolici furono introdotti nel 1848 da James Cockle, e utilizzati da William Clifford per rappresentare la somma di rotazioni. A partire dal XX secolo sono stati utilizzati per rappresentare le trasformazioni di Lorentz all'interno della relatività ristretta.

Algebra dei complessi iperbolici

Un numero complesso iperbolico può essere espresso nella forma:

${\displaystyle z=a+b\varepsilon }$,

dove ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ sono numeri reali, e vale la relazione:

${\displaystyle \varepsilon ^{2}=1}$.

Sui numeri complessi è possibile eseguire le normali operazioni algebriche, considerando ${\displaystyle \varepsilon }$ come una variabile, e avendo cura di eseguire la sostituzione ${\displaystyle \varepsilon ^{2}=1}$ (o, più in generale, ${\displaystyle \varepsilon ^{2n}=1}$ per ogni potenza pari dell'unità immaginaria iperbolica, e ${\displaystyle \varepsilon ^{2n+1}=\varepsilon }$ per ogni potenza dispari). È quindi possibile calcolare la somma e il prodotto di due numeri complessi iperbolici ${\displaystyle z_{1}=a_{1}+b_{1}\varepsilon }$ e ${\displaystyle z_{2}=a_{2}+b_{2}\varepsilon }$:

${\displaystyle {\begin{matrix}z_{1}+z_{2}&=&(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})\varepsilon \\z_{1}z_{2}&=&(a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2})+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})\varepsilon \\\end{matrix}}}$

L'inverso moltiplicativo del numero ${\displaystyle a+b\varepsilon }$ è:

${\displaystyle \left(a+b\varepsilon \right)^{-1}={\frac {a-b\varepsilon }{a^{2}-b^{2}}}}$,

ed è definito solamente se ${\displaystyle a^{2}-b^{2}\neq 0}$, per cui i numeri complessi iperbolici non formano un campo.

I complessi iperbolici come anello quoziente

È possibile definire i numeri iperbolici come gli elementi dell'anello quoziente

${\displaystyle {\frac {\mathbb {R} [X]}{(X^{2}-1)}}}$,

dove ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$ è l'anello dei polinomi in una variabile a coefficienti reali, e in ${\displaystyle (X^{2}-1)}$ è l'ideale generato dal polinomio ${\displaystyle X^{2}-1}$. Questo ideale non è massimale, perché è contenuto nei due ideali ${\displaystyle (X-1)}$ e ${\displaystyle (X+1)}$, pertanto l'anello dei numeri complessi iperbolici non è un campo. Inoltre, le operazioni di somma e prodotto sono continue rispetto all'usuale topologia del piano, per cui l'anello è anche un anello topologico.

Definendo l'operazione di prodotto per uno scalare ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$:

${\displaystyle \alpha (a+b\varepsilon )=\alpha a+\alpha b\varepsilon }$,

i numeri complessi iperbolici formano una algebra associativa e commutativa dotata di unità, di dimensione ${\displaystyle 2}$. Questa algebra è anche un'algebra di Clifford, dotata di una forma quadratica definita positiva.

Metrica

I numeri iperbolici complessi possono essere rappresentati sul piano reale, analogamente agli usuali numeri complessi; questo piano tuttavia non possiede la metrica euclidea: definiamo il coniugato del numero ${\displaystyle z=x+y\varepsilon }$ come ${\displaystyle z^{*}=x-y\varepsilon }$. Il modulo di un numero complesso iperbolico è allora definito come:

${\displaystyle |z|=zz^{*}=x^{2}-y^{2}}$.

La metrica così definita ha segnatura ${\displaystyle (1,-1)}$ e dota i numeri complessi iperbolici della struttura di spazio di Minkowski, ed è conservata dalla moltiplicazione:

${\displaystyle \lVert zw\rVert =\lVert z\rVert \lVert w\rVert .}$.

È anche possibile definire un equivalente della formula di Eulero:

${\displaystyle \exp(\varepsilon \theta )=\cosh(\theta )+\varepsilon \sinh(\theta )}$.

I numeri della forma ${\displaystyle \exp(\varepsilon \theta )}$ hanno modulo uguale a ${\displaystyle 1}$ secondo la metrica appena definita, e giacciono sull'iperbole equilatera di equazione:

${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$.

Questa iperbole svolge sul piano iperbolico un ruolo analogo a quello della circonferenza unitaria sul piano complesso. La moltiplicazione per ${\displaystyle \exp(\varepsilon \theta )}$ conserva la norma, e corrisponde ad una rotazione iperbolica, ovvero ad una trasformazione di Lorentz.

È anche possibile definire il prodotto scalare come:

${\displaystyle \left\langle z_{1},z_{2}\right\rangle =\left\langle a_{1}+b_{1}\varepsilon ,a_{2}+b_{2}\varepsilon \right\rangle =\mathrm {Re} \left(z_{1}z_{2}^{*}\right)=\mathrm {Re} \left(z_{1}^{*}z_{2}\right)=a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}}$.

Rappresentazione matriciale

Le proprietà algebriche dell'unita immaginaria ${\displaystyle \varepsilon }$ sono esprimibili dalla matrice:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.}$

In generale, il numero complesso iperbolico ${\displaystyle a+b\varepsilon }$ è rappresentato dalla matrice

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\b&a\end{pmatrix}}.}$

Le usuali operazioni di somma e moltiplicazione tra matrici coincidono con la somma e il prodotto definiti sopra. L'operazione di coniugazione corrisponde alla moltiplicazione da ambo i lati per la matrice:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$.

La rotazione iperbolica corrisponde alla moltiplicazione per la matrice:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cosh \theta &\sinh \theta \\\sinh \theta &\cosh \theta \end{pmatrix}}.}$

La base diagonale

L'unità reale ${\displaystyle 1}$ e quella immaginaria ${\displaystyle \varepsilon }$ costituiscono una base per il piano complesso iperbolico; è possibile tuttavia utilizzare altre basi mediante opportuni cambi di coordinate. Una base particolarmente utilizzata è quella costituita dai due elementi idempotenti non banali:

${\displaystyle {\begin{matrix}e&=&{\frac {1-\varepsilon }{2}}\\e^{*}&=&{\frac {1+\varepsilon }{2}}\end{matrix}}}$

La base formata da ${\displaystyle e}$ ed ${\displaystyle e^{*}}$ è detta base diagonale o base nulla, in quanto i suoi componenti hanno modulo nullo. La trasformazione delle coordinate da una base all'altra è data dalla seguente formula:

${\displaystyle z=a+b\varepsilon =(a-b)e+(a+b)e^{*}}$.

Alcune operazioni tra numeri complessi iperbolici hanno una espressione molto più semplice nella base diagonale; dati i numeri ${\displaystyle z_{1}=x_{1}e+y_{1}e^{*}}$ e ${\displaystyle z_{2}=x_{2}e+y_{2}e^{*}}$ valgono le seguenti:

• moltiplicazione: ${\displaystyle z_{1}z_{2}=(x_{1}x_{2})e+(y_{1}y_{2})e^{*}}$;
• coniugazione: ${\displaystyle z_{1}^{*}=y_{1}e+x_{1}e^{*}}$;
• modulo: ${\displaystyle \lVert z_{1}\rVert =x_{1}y_{1}}$.

Voci correlate

• Numero complesso
• Numero duale
• Spazio iperbolico
• Isometria dello spazio iperbolico

Collegamenti esterni

• (EN) Introduction to Algebraic Motors, su ca.geocities.com (archiviato dall'url originale l'11 agosto 2006)., introduzione ai motori algebrici