Número primo

Sistema numérico en matemáticas
Conxuntos numéricos ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ
Naturais (${\displaystyle \mathbb {N} }$) Números de Fermat, de Sophie Germain e de Mersenne Enteiros (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Primos (${\displaystyle \mathbb {P} }$) / Compostos Pares / Impares Abundantes / Defectivos Números perfectos, amigos e sociábeis Racionais (${\displaystyle \mathbb {Q} }$) Fraccións Reais (${\displaystyle \mathbb {R} }$) Positivos (${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$) / Negativos (${\displaystyle \mathbb {R} _{<0}}$) Irracionais (${\displaystyle \mathbb {I} }$) Alxébricos / Transcendentes (${\displaystyle \mathrm {Tr} }$) Números complexos (${\displaystyle \mathbb {C} }$) Números imaxinarios
Números destacables
-1 0 1 Φ ≈ 1,6180339887... e ≈ 2,7182818284 π ≈ 3,1415926535 i = ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ Constantes matemáticas
Outras extensións dos números complexos
Bicomplexos Hipercomplexos Cuaternións (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {H} }$) Octonións (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {O} }$) Sedenións (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {S} }$) Superreais Hiperreais Surreais
Infinito
Infinito (∞) Números infinitos Números transfinitos Números alef {${\displaystyle \aleph _{0},\aleph _{1},\cdots }$}
Especiais
Nominais Ordinais (1^o,2^o...) Cardinais
Outros importantes
Secuencias de enteiros Lista de números Números grandes
Sistemas de numeración
Numeración en base constante Sistema binario (2) Sistema octal (8) Sistema decimal (10) Sistema hexadecimal (16) Numeración arábiga Numeración babilónica Numeración chinesa Numeración xaponesa Numeración maia Numeración romana
v c e

Número primo é un número natural maior que 1 e que ten exactamente dous divisores positivos distintos: 1 e el mesmo. Se un número natural é maior que 1 e non é primo, dise que é composto. Por convención, os números 0 e 1 non son primos nin compostos.

O concepto de número primo é moi importante na teoría dos números. Un dos resultados da teoría dos números é o Teorema Fundamental da Aritmética, que afirma que calquera número enteiro positivo pode ser escrito univocamente como o produto de varios números primos (chamados "factores primos"). Ao proceso que recibe como argumento un número e devolve os seus factores primos chámase descomposición en factores primos. Antes do desenvolvemento do cálculo automático, a determinación dos factores primos era un proceso traballoso en extremo, mais a finais do século XVIII xa existían, grazas ao labor dalgúns matemáticos, entre os cales estaban Anton Felkel e Jurij Bartolomej Vega, extensas táboas abranguendo o intervalo desde a unidade ata algúns millóns.

Colocando os números primos en orde crecente, temos que os primeiros elementos son:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97...

Exemplos de decomposicións:

• 4 = 2 ⋅ 2
• 6 = 2 ⋅ 3
• 8 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2
• 9 = 3 ⋅ 3
• 10 = 2 ⋅ 5

Teoremas dos números primos

Sábese que, á medida que avanzamos na secuencia dos números enteiros, os primos tórnanse cada vez máis raros. Isto levanta dúas cuestións:

1. O conxunto dos números primos sería finito ou infinito?
2. Dado un número natural ${\displaystyle n}$, cal é a proporción de números primos entre os números menores que ${\displaystyle n}$?

A resposta a primeira cuestión é que o conxunto dos primos é infinito. Podemos demostralo da seguinte forma:

Supoña, por absurdo, que o número de primos sexa finito e sexan ${\displaystyle p_{1},p_{2},p_{3},...,p_{n}}$ os primos. Sexa ${\displaystyle P}$ o número tal que

${\displaystyle P}$ = ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}p_{i}+1}$ onde ${\displaystyle \prod }$ denota o produto.

Temos que ${\displaystyle P}$ non é primo (por hipótese), logo existe un número primo ${\displaystyle q}$ tal que ${\displaystyle q\mid \ P}$. Mais obviamente ${\displaystyle q\neq \ p_{1},p_{2},...p_{n}}$. Logo existe un novo número primo, o que é unha contradición.

A resposta para a segunda pregunta é que esa proporción se aproximará máis a ${\displaystyle n:\ln(n)}$ canto maior sexa n, onde ${\displaystyle \ln }$ é o logaritmo natural.

Grupos e secuencias de números primos

Coñécense dous grupos de números primos, dos tipos:

(4n+1) - pódense sempre escribir como (${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$)

e

(4n-1) - nunca se poden escribir como (${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$)

Tratándose de números primos, é perigoso facer unha xeneralización apenas con base nunha observación, non solidamente comprobada matematicamente. Por exemplo, 31, 331, 3 331, 33 331, 333 331, 3 333 331 e 33 333 331 son primos, mais 333 333 331 non é (333 333 331 = 17 ⋅ 19 607 843).

Véxase tamén

Outros artigos

• Lista de números primos
• Emirp

Ligazóns externas

• As páxinas de primos -- http://www.utm.edu/research/primes/ Arquivado 01 de agosto de 2003 en Wayback Machine.
• Lista dos maiores números probabelmente primos
• The prime puzzles
• Primes de WIMS é un xerador online de números primos.
• 12 digit primes Factores primos coñecidos de 12-díxitos de Googolplex