Lóxica matemática

A lóxica matemática é unha disciplina relacionada coa lóxica e a matemática, que estuda os sistemas formais en relación coa maneira na que estes codifican os conceptos intuitivos da demostración matemática e a computación como unha parte dos fundamentos da matemática. Garda, por tanto, estritas conexións coa ciencia da computación.

Adoita dividirse en catro subcampos: teoría de modelos, teoría da demostración, teoría de conxuntos e teoría da recursión. A investigación en lóxica matemática xogou un papel fundamental no estudo dos fundamentos das matemáticas.

Tamén foi chamada lóxica simbólica e matemática. O primeiro termo aínda se utiliza como sinónimo seu, pero o segundo refírese agora a certos aspectos da teoría da demostración.

A lóxica matemática non é a lóxica das matemáticas senón a matemática da lóxica. Pódese entender como a matemática da lóxica xa que comprende aquelas partes da lóxica que poden ser modeladas e estudadas matematicamente.

Historia

Lóxica matemática foi o nome que lle deu Giuseppe Peano a esta disciplina. En esencia, é a lóxica clásica (de Aristóteles), pero cunha notación diferente, máis abstracta, tomada da álxebra.

Previamente xa se fixeran algúns intentos de tratar as operacións lóxicas formais dunha maneira simbólica por parte dalgúns filósofos matemáticos como Leibniz e Lambert, pero o seu labor permaneceu descoñecido e illado.

Foron George Boole e Augustus De Morgan, a mediados do século XIX, os que primeiro presentaron un sistema matemático para modelar operacións lóxicas. A lóxica tradicional aristotélica foi reformada e completada, obtendo un instrumento apropiado para investigar sobre os fundamentos da matemática.

O tradicional desenvolvemento da lóxica salientaba o seu centro de interese na forma de argumentar, mentres que a actual lóxica matemática céntrao nun estudo combinatorio dos contidos. Isto aplícase tanto a un nivel sintáctico (por exemplo, o envío dunha cadea de símbolos pertencente a unha linguaxe formal a un programa compilador que o converte nunha secuencia de instrucións executábeis por unha máquina), como a un nivel semántico, construíndo modelos apropiados (teoría de modelos).

A lóxica matemática estuda os sistemas formais en relación co modo no que codifican conceptos intuitivos de obxectos matemáticos como conxuntos, números, demostracións e computación.

Campos

A Mathematics Subject Classification divide a lóxica matemática nas seguintes áreas:

• Filosófica e crítica
• Lóxica xeral (que inclúe campos como a lóxica modal e a lóxica borrosa)
• Teoría de modelos
• Teoría da computabilidade
• Teoría de conxuntos
• Teoría da demostración e matemática construtiva
• Lóxica alxebarica ou alxébrica
• Modelos non-estándar

Nalgúns casos hai conxunción de intereses coa informática teórica, pois moitos pioneiros da informática, como Alan Turing, foron matemáticos e lóxicos. Así, o estudo da semántica das linguaxes de programación procede da teoría de modelos, así como tamén a verificación de programas, e o caso particular da técnica do model checking.

Tamén o isomorfismo de Churry-Howard entre probas e programas correspóndese coa teoría de probas, onde a lóxica intuicionista e a lóxica lineal son especialmente significativas.

Algúns sistemas lóxicos como o cálculo lambda, e a lóxica combinatoria, entre outros, chegaron a ser, incluso, auténticas linguaxes de programación, creando novos paradigmas como son a programación funcional e a programación lóxica.

Lóxica de predicados

A lóxica de predicados é unha linguaxe formal onde as sentenzas ben formadas prodúcense polas regras enunciadas a continuación.

Vocabulario

Un vocabulario é unha tupla: ${\displaystyle \tau =\langle R_{1},R_{2},...,R_{r},f_{1},f_{2},...,f_{s},c_{1},c_{2}...c_{t}\rangle }$ que consta de:

• ${\displaystyle r}$ símbolos relacionais ${\displaystyle R_{i}}$, cada un deles cun número entero ${\displaystyle a_{i}}$ asociado, o cal se coñece como a aridade de ${\displaystyle R_{i}}$
• ${\displaystyle s}$ símbolos funcionais ${\displaystyle f_{j}}$, cada un de aridade ${\displaystyle b_{j}}$
• ${\displaystyle t}$ símbolos constantes ${\displaystyle c_{k}}$

Unha fórmula de primeira orde ${\displaystyle \varphi }$ no vocabulario ${\displaystyle \tau }$, é unha fórmula de primeira orde onde os únicos predicados, funcións e constantes emprgeados son os especificados por ${\displaystyle \tau }$.

Linguaxes e estruturas de primeira orde

Unha linguaxe de primeira orde ${\displaystyle {\mathfrak {L}}\,}$ é unha colección de distintos símbolos clasificados como segue:

1. O símbolo de igualdade ${\displaystyle =\,}$; as conectivas ${\displaystyle \lor \,}$, ${\displaystyle \lnot \,}$; o cuantificador universal ${\displaystyle \forall \,}$ e a paréntese ${\displaystyle (\,}$, ${\displaystyle )\,}$.
2. Un conxunto contábel de símbolos de variábel ${\displaystyle \{v_{i}\}_{i=0}^{\infty }\,}$.
3. Un conxunto de símbolos de constante ${\displaystyle \{c_{\alpha }\}_{\alpha \in \mathrm {A} }\,}$.
4. Un conxunto de símbolos de función ${\displaystyle \{f_{\beta }\}_{\beta \in \mathrm {B} }\,}$.
5. Un conxunto de símbolos de relación ${\displaystyle \{R_{\gamma }\}_{\gamma \in \Gamma }\,}$.

Así, para especificar unha orde, xeralmente só fai falta especificar a colección de símbolos constantes, símbolos de función e símbolos relacionais, dado que o primeiro conxunto de símbolos é estándar. As parénteses teñen como único propósito o de agrupar símbolos e non forman parte da estrutura das funcións e relacións.

Os símbolos carecen de significado por si sos. Porén, a esta linguaxe podemos dotala dunha semántica apropiada.

Unha ${\displaystyle {\mathfrak {L}}\,}$-estrutura sobre a linguaxe ${\displaystyle {\mathfrak {L}}\,}$, é unha tupla consistente nun conxunto non baleiro ${\displaystyle A\,}$, o universo do discurso, xunto a:

1. Para cada símbolo constante ${\displaystyle c\,}$ de ${\displaystyle {\mathfrak {L}}\,}$, temos un elemento ${\displaystyle c^{\mathfrak {A}}\in A\,}$.
2. Para cada símbolo de función ${\displaystyle n\,}$-aria ${\displaystyle f\,}$ de ${\displaystyle {\mathfrak {L}}\,}$, unha función ${\displaystyle n\,}$-aria ${\displaystyle f^{\mathfrak {A}}:A^{n}\longrightarrow A\,}$.
3. Para cada símbolo de relación ${\displaystyle n\,}$-aria ${\displaystyle R\,}$ de ${\displaystyle {\mathfrak {L}}\,}$, unha relación ${\displaystyle n\,}$-aria sobre ${\displaystyle A\,}$, isto é, un subconxunto ${\displaystyle R^{\mathfrak {A}}\subseteq A^{n}\,}$.

Adoito usaremos a palabra modelo para denotar esta estrutura.

Véxase tamén

Bibliografía

• Agazzi, Evandro (1986): Lógica simbólica. Herder. ISBN 9788425401305

Outros artigos

• Lóxica proposicional
• Lóxica de primeira orde
• Noción primitiva
• Función indicadora