Álxebra multilinear

Na matemática, a álxebra multilinear é unha área de estudo que xeneraliza os métodos da álxebra linear. Os obxectos de estudo son os produtos tensoriais de espazos vectoriais e as transformacións multilineares entre os espazos.

Notación

A álxebra multilinear fai un uso intensivo da notación multiíndice. Unha notación dese tipo representa as combinacións lineares por un conxunto de dous ou máis índices repetidos.

• No caso elemental (tensores de rango un contravariantes) tense, empregando a convención da suma de Einstein: ${\displaystyle \scriptstyle X=X^{s}e_{s}\,}$. O que indica que o obxecto X, é a combinación linear:

${\displaystyle \sum _{s=1}^{n}X^{s}e_{s}=X^{1}e_{1}+X^{2}e_{2}+\cdots +X^{n}e_{n}}$

sobre os vectores básicos ${\displaystyle \scriptstyle e_{s}\,}$, e os ${\displaystyle \scriptstyle X^{s}\,}$ chamados compoñentes de X. Aquí ${\displaystyle n}$ é a dimensión alxébrica do espazo ao que pertence X. Por convención chámaselles 1-contra-tensores.

• En rango uno tamén están os 1-co tensores, é dicir aplicacións lineares dende o espazo escollido ata o campo dos escalares. Escríbense como combinación linear dos funcionais lineares ${\displaystyle e^{s}}$, transformacións lineares ${\displaystyle \scriptstyle V\to \mathbb {K} }$ que satisfán: ${\displaystyle \scriptstyle e^{s}(e_{\sigma })={\delta ^{s}}_{\sigma }}$, onde se está empregando o delta de Kronecker. Deste xeito, calquera covector ${\displaystyle \scriptstyle f\colon V\to \mathbb {K} }$ se escribe como ${\displaystyle \scriptstyle f=f_{s}e^{s}\,}$, notación que se abrevia como ${\displaystyle \scriptstyle f=f_{1}e^{1}+\cdots +f_{n}e^{n}\,}$.
• Tensores de rango dous:
  • Un tensor de rango dous contravariante é ${\displaystyle \scriptstyle B=B^{st}e_{s}\otimes e_{t}}$.
  • Un tensor de rango dous covariante é ${\displaystyle \scriptstyle C=C_{st}e^{s}\otimes e^{t}}$.
  • E un tensor de rango dous mixto é ${\displaystyle \scriptstyle D={D^{s}}_{t}e_{s}\otimes e^{t}}$. Isto indica unha combinación linear biindexada.

Por exemplo,

${\displaystyle B=B^{11}e_{1}\otimes e_{1}+B^{12}e_{1}\otimes e_{2}+B^{21}e_{2}\otimes e_{1}+B^{22}e_{2}\otimes e_{2}}$

se a dimensión do espazo é dous.

• Xeneralizando o anterior escríbese ${\displaystyle \scriptstyle {A^{i_{1}i_{2}...i_{p}}}_{j_{1}j_{2}...j_{q}}}$ para representar os compoñentes dun tensor mixto A, que é p-contravariante e q-covariante. Pero

${\displaystyle A={A^{i_{1}i_{2}...i_{p}}}_{j_{1}j_{2}...j_{q}}e_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes e_{i_{p}}\otimes e^{j_{1}}\otimes \cdots \otimes e^{j_{q}}}$

representa unha combinación linear multiindexada.

Todo o anterior só foi considerando que o espazo vectorial é de dimensión finita igual a n.

Produto tensorial

Tendo dous espazos vectoriais V, W, con bases respectivas ${\displaystyle \{b_{1},...,b_{n}\}}$, ${\displaystyle \{c_{1},...,c_{m}\}}$ defínese o seu produto tensorial

${\displaystyle V\otimes W:=\langle \{b_{i}\otimes c_{j}\}\rangle }$

é dicir o espazo vectorial xerado polos novos símbolos

${\displaystyle \{b_{1}\otimes c_{1},b_{1}\otimes c_{2},...,b_{n}\otimes c_{m-1},b_{n}\otimes c_{m}\}}$

Polo tanto se un obxecto X que pertence a ${\displaystyle \scriptstyle V\otimes W}$ pode representarse como unha combinación linear

${\displaystyle X=X^{11}b_{1}\otimes c_{1}+X^{12}b_{1}\otimes c_{2}+\cdots +X^{ij}b_{i}\otimes c_{j}+\cdots +X^{nm}b_{n}\otimes c_{m}}$

e que se abrevia como

${\displaystyle X=X^{st}b_{s}\otimes c_{t}}$

os índices repetidos s ou t, indican, cada un, a suma.

Esta definición é absolutamente abstracta, pero dende o punto de vista alxébrico non hai ningún problema en explorar todas as posibilidades do produto tensorial. Xorde unha gran cantidade de espazos simplemente ao considerar un espazo vectorial V e o seu dual ${\displaystyle V^{*}}$, obténdose os espazos:

${\displaystyle V\otimes V\otimes V=V^{3\otimes }}$

${\displaystyle \scriptstyle V\otimes V^{*}={\rm {Hom}}(V)}$

${\displaystyle \scriptstyle V^{*}=\Lambda ^{1}(V)\,}$

${\displaystyle \scriptstyle V\wedge V}$

${\displaystyle \scriptstyle \Lambda ^{k}(V)\,}$

Todos eles de uso cotián en xeometría diferencial, xeometría alxébrica, relatividade e outros campos.

Tensores e formas

Sexa ${\displaystyle V}$ xerado polos ${\displaystyle b_{i}}$. Simbolizando con ${\displaystyle \beta ^{\mu }}$ a base do dual ${\displaystyle \scriptstyle V^{*}}$ calquera elemento de ${\displaystyle \scriptstyle V^{*}\otimes V^{*}}$ escríbese da forma ${\displaystyle \scriptstyle B_{\mu \nu }\beta ^{\mu }\otimes \beta ^{\nu }}$. Esta mesma expresión pode ser vista como unha función bilinear

${\displaystyle \scriptstyle V\times V{\stackrel {B_{\mu \nu }\beta ^{\mu }\otimes \beta ^{\nu }}{\longrightarrow }}\mathbb {R} }$

${\displaystyle \scriptstyle (b_{i},b_{j})\mapsto B_{\mu \nu }\beta ^{\mu }\otimes \beta ^{\nu }(b_{i},b_{j})=B_{ij}}$

sabiendo que ${\displaystyle \scriptstyle \beta ^{\mu }\otimes \beta ^{\nu }(b_{i},b_{j})={\delta ^{\mu }}_{i}{\delta ^{\nu }}_{j}}$ - kronecker.

Outro de rango dous é ${\displaystyle \scriptstyle V\otimes V^{*}}$. Os elementos de aquí vense como combinacións lineares biindexadas ${\displaystyle \scriptstyle {B^{\mu }}_{\nu }b_{\mu }\otimes \beta ^{\nu }}$.

Véxase tamén

Bibliografía

• Robert M. Wald, General Relativity, Chicago University Press, ISBN 0-226-87033-2.

---

Este artigo sobre matemáticas é, polo de agora, só un bosquexo. Traballa nel para axudar a contribuír a que a Galipedia mellore e medre.  Existen igualmente outros artigos relacionados con este tema nos que tamén podes contribuír.

---