Xeometría discreta

Unha colección de circunferencias e o grafo de discos unitarios correspondente

.

A xeometría discreta e a xeometría combinatoria son ramas da xeometría que estudan as propiedades combinatorias e os métodos construtivos de obxectos xeométricos discretos. A maioría das preguntas de xeometría discreta implican conxuntos finitos ou discretos de obxectos xeométricos básicos, como puntos, liñas, planos, circunferencias, esferas, polígonos, etc. A materia céntrase nas propiedades combinatorias destes obxectos, por exemplo como se cruzan entre si ou como se poden dispor para cubrir un obxecto máis grande.

A xeometría discreta ten unha gran superposición coa xeometría convexa e a xeometría computacional, e está moi relacionada con temas como a xeometría finita, a optimización combinatoria, a xeometría diferencial discreta, a teoría xeométrica de grafos, a xeometría tórica e a topoloxía combinatoria.

László Fejes Tóth, H.S.M. Coxeter, e Paul Erdős estabeleceron os fundamentos da xeometría discreta.^[1][2][3]

Temas

Poliedros e politopos

Artigos principais: Poliedro e Polítopo.

Un polítopo é un obxecto xeométrico con lados planos, que existe en calquera número xeral de dimensións. Un polígono é un polítopo en dúas dimensións, un poliedro en tres dimensións, etc. en dimensións superiores (como un 4-polítopo en catro dimensións). Algunhas teorías xeneralizan aínda máis a idea de incluír obxectos como polítopos ilimitados (apeirótopos e teselacións) e polítopos abstractos.

Os seguintes son algúns dos aspectos dos polítopos estudados en xeometría discreta:

• Combinatoria poliédrica
• Polítopos de retícula
• Polinomios de Ehrhart
• Teorema de Pick
• Conxectura de Hirsch
• Conxunto opaco

Empaquetados, recubrimentos e teselados

Os empaquetados, recubrimentos e teselados son todas formas de organizar obxectos uniformes (normalmente circunferencias, esferas ou teselas) de forma regular nunha superficie ou variedade.

Os temas específicos nesta área inclúen:

• Empaquetados circulares
• Empaquetados de esferas
• Conxectura de Kepler
• Cuasicristais
• Teselado aperiódica
• Grafo periódico
• Regras de subdivisión finita

Rixidez e flexibilidade estrutural

Os grafos son debuxados como barras conectadas por bisagras xiratorias. O grafo de ciclo C₄ debuxado como un cadrado pode inclinarse pola forza azul nun paralelogramo, polo que é un grafo flexible K₃, debuxado como un triángulo, non pode ser alterado por ningunha forza que se lle aplique, polo que é unha grafo ríxido.

A rixidez estrutural é unha teoría combinatoria para predicir a flexibilidade de conxuntos formados por corpos ríxidos conectados por ligazóns flexibles ou bisagras.

Os temas nesta área inclúen:

• Teorema de Cauchy
• Poliedros flexíbeis

Estruturas de incidencia

Sete puntos son elementos de sete liñas no plano de Fano, un exemplo dunha estrutura de incidencia.

As estruturas de incidencia xeneralizan planos (como os planos afíns, proxectivos e de Möbius) como se pode ver nas súas definicións axiomáticas. As estruturas de incidencia tamén xeneralizan os análogos de dimensións superiores e as estruturas finitas chámanse ás veces xeometrías finitas.

Formalmente, unha estrutura de incidencia é unha tripla

${\displaystyle C=(P,L,I).\,}$

onde P é un conxunto de "puntos", L é un conxunto de "rectas" e ${\displaystyle I\subseteq P\times L}$ é a relación de incidencia. Os elementos de ${\displaystyle I}$ chámanse bandeiras. Se

${\displaystyle (p,l)\in I,}$

dicimos que o punto p "está na liña" ${\displaystyle l}$.

Os temas nesta área inclúen:

• Configuracións
• Arranxos de liñas
• Arranxos de hiperplanos
• Edificios de Bruhat-Tits

Matroides orientadas

Unha matroide orientado é unha estrutura matemática que abstrae as propiedades dos grafos orientados e de arranxos de vectores nun espazo vectorial sobre un corpo ordenado (particularmente para espazos vectoriais parcialmente ordenados). En comparación, un matroide ordinario (é dicir, non orientado) abstrae as propiedades de dependencia que son comúns tanto aos grafos, que non están necesariamente orientados, como aos arranxos de vectores sobre corpos, que non están necesariamente ordenados.

Teoría de grafos xeométrica

Un grafo xeométrico é un grafo no que os vértices ou arestas están asociados a obxectos xeométricos. Os exemplos inclúen os grafos euclidianos, o 1-esqueleto dun poliedro ou polítopo, os grafos de discos unitarios e os grafos de visibilidade.

Os temas nesta área inclúen:

• Debuxo de grafos
• Grafos poliédricos
• Gráficos xeométricos aleatorios
• Diagramas de Voronoi e triangulacións de Delaunay

Complexo simplicial

Un complexo simplicial é un espazo topolóxico de certo tipo, construído "colando" puntos, segmentos de liña, triángulos e os seus homólogos n-dimensionais (ver a ilustración).

Combinatoria topolóxica

A disciplina da topoloxía combinatoria usou conceptos combinatorios na topoloxía e a principios do século XX isto converteuse no campo da topoloxía alxébrica.

Os temas nesta área inclúen:

• Lema de Sperner
• Mapas regulares

Reticulas e grupos discretos

Un grupo discreto é un grupo G equipado coa topoloxía discreta. Con esta topoloxía, G convértese nun grupo topolóxico. Un subgrupo discreto dun grupo topolóxico G é un subgrupo H cuxa topoloxía relativa é a discreta. Por exemplo, os números enteiros, Z, forman un subgrupo discreto dos reais, R (coa topoloxía métrica estándar), mais os números racionais, Q, non.

Os temas nesta área inclúen:

• Grupos de reflexión
• Grupos triangulares

Xeometría dixital

Artigo principal: Xeometría dixital.

Xeometría dixital trata con conxuntos discretos (normalmente conxuntos de puntos discretos) considerados modelos dixitalizados ou imaxes de obxectos do espazo euclidiano 2D ou 3D.

Xeometría diferencial discreta

Artigo principal: Xeometría diferencial discreta.

A Xeometría diferencial discreta é o estudo das contrapartes discretas das nocións da xeometría diferencial. En lugar de curvas e superficies suaves, hai polígonos, retículas e complexos simpliciais. Utilízase no estudo da infografías por ordenador e da topoloxía combinatoria.

Os temas nesta área inclúen:

• Operador de Laplace discreto
• Cálculo exterior discreto
• Cálculo discreto
• Teoría Morse discreta
• Topoloxía combinatoria
• Análise da forma espectral
• Análise sobre fractais

Notas

1. Pach, János; et al. (2008). Intuitive Geometry, in Memoriam László Fejes Tóth. Alfréd Rényi Institute of Mathematics. 
2. Katona, G. O. H. (2005). Laszlo Fejes Toth – Obituary. Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica 42. p. 113. 
3. Bárány, Imre (2010). "Discrete and convex geometry". En Horváth, János. A Panorama of Hungarian Mathematics in the Twentieth Century, I. New York: Springer. pp. 431–441. ISBN 9783540307211. 

Véxase tamén

Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría:  Xeometría discreta

Bibliografía

• Bezdek, András (2003). Discrete geometry: in honor of W. Kuperberg's 60th birthday. New York, N.Y: Marcel Dekker. ISBN 0-8247-0968-3. 
• Bezdek, Károly (2010). Classical Topics in Discrete Geometry. New York, N.Y: Springer. ISBN 978-1-4419-0599-4. 
• Bezdek, Károly (2013). Lectures on Sphere Arrangements - the Discrete Geometric Side. New York, N.Y: Springer. ISBN 978-1-4614-8117-1. 
• Bezdek, Károly; Deza, Antoine; Ye, Yinyu (2013). Discrete Geometry and Optimization. New York, N.Y: Springer. ISBN 978-3-319-00200-2. 
• Brass, Peter; Moser, William; Pach, János (2005). Research problems in discrete geometry. Berlin: Springer. ISBN 0-387-23815-8. 
• Pach, János; Agarwal, Pankaj K. (1995). Combinatorial geometry. New York: Wiley-Interscience. ISBN 0-471-58890-3. 
• Goodman, Jacob E. and O'Rourke, Joseph (2004). Handbook of Discrete and Computational Geometry, Second Edition. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC. ISBN 1-58488-301-4. 
• Gruber, Peter M. (2007). Convex and Discrete Geometry. Berlin: Springer. ISBN 978-3-540-71132-2. 
• Matoušek, Jiří (2002). Lectures on discrete geometry. Berlin: Springer. ISBN 0-387-95374-4. 
• Vladimir Boltyanski, Horst Martini, Petru S. Soltan (1997). Excursions into Combinatorial Geometry. Springer. ISBN 3-540-61341-2. 

Outros artigos

• Matemáticas discretas.