Espazo métrico

En matemática, un espazo métrico é un conxunto xunto cunha función distancia definida sobre el, de xeito que calquera par de puntos (ou elementos) do conxunto están a unha certa distancia asignada por esa función.

En particular, calquera espazo métrico será, ademais, un espazo topolóxico porque calquera función de distancia definida sobre un conxunto dado induce unha topoloxía sobre ese conxunto. Trátase da topoloxía inducida polas bólas abertas asociadas á función distancia do espazo métrico.

Definicións

Definición de espazo métrico

Formalmente, un espazo métrico é un conxunto ${\displaystyle M}$ (con elementos denominados puntos) cunha función distancia asociada (tamén chamada unha “métrica”) ${\displaystyle d:M\times M\rightarrow \mathbb {R} }$ (onde ${\displaystyle \mathbb {R} }$ é o conxunto dos números reais). Dicir que ${\displaystyle d}$ é unha distancia sobre ${\displaystyle M}$ é dicir que para todo ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$ en ${\displaystyle M}$, esta función debe satisfacer as seguintes condicións ou propiedades dunha distancia:

1. ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$ (positividade)
2. ${\displaystyle d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y}$     (identidade dos indiscernibles)
3. ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)\,}$     (simetría)
4. ${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)\,}$     (desigualdade triangular).

Algunhas definicións asociadas a un espazo métrico

Sexa ${\displaystyle (M,d)\!}$ un espazo métrico, e sexan ${\displaystyle a\in M\!}$ e ${\displaystyle r\in \mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}\!}$ un punto de ${\displaystyle M\!}$ e un número real positivo ou cero, respectivamente:

• Chámase “bóla” (aberta) centrada en ${\displaystyle a}$ e de raio ${\displaystyle r}$, ao subconxunto de ${\displaystyle M\!}$: ${\displaystyle \{x\in M|d(x,a)<r\}}$, denotado usualmente como ${\displaystyle B(a,r)}$, ou como ${\displaystyle B_{r}(a)}$.
• Chámase “bóla pechada” centrada en ${\displaystyle a}$ e de raio ${\displaystyle r}$, ao subconxunto de ${\displaystyle M\!}$: ${\displaystyle \{x\in M|d(x,a)\leq r\}}$, denotado usualmente como ${\displaystyle B_{c}(a,r)}$ ou como ${\displaystyle {\overline {B}}(a,r)}$ ou tamén como ${\displaystyle {\overline {B}}_{r}(a)}$.
• En análise funcional a terminoloxía pode levar un pouco a confusión, pois a bóla aberta de raio ${\displaystyle r\,\!}$ e centro ${\displaystyle a\,\!}$ adoita denotarse por ${\displaystyle U(a,r)\,\!}$ ou por ${\displaystyle U_{r}(a)\,\!}$, mentres que a bóla pechada de centro ${\displaystyle a\,\!}$ e raio ${\displaystyle r\,\!}$ denótase por ${\displaystyle B(a,r)\,\!}$ ou por ${\displaystyle B_{r}(a)\,\!}$.
• Algúns autores utilizan a expresión “disco” en lugar de bóla, así que pode falarse de disco aberto e disco pechado. En particular, esta terminoloxía emprégase en Variable Complexa, e cando se considera a distancia euclidiana sobre o conxunto ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$.
• Chámase esfera centrada en ${\displaystyle a}$ e de raio ${\displaystyle r}$, ao subconxunto de ${\displaystyle M\!}$: ${\displaystyle \{x\in M|d(x,a)=r\}\!}$, denotado usualmente como ${\displaystyle S(a,r)}$, ou como ${\displaystyle S_{r}(a)}$.

Topoloxía dun espazo métrico

A distancia ${\displaystyle d}$ do espazo métrico induce en ${\displaystyle M}$ unha topoloxía, e polo tanto o espazo é un espazo topolóxico ao tomarse como subconxuntos abertos para a topoloxía todos os subconxuntos ${\displaystyle U}$ que cumpren

${\displaystyle (\forall u\in U)(\exists \varepsilon \in \mathbb {R} ^{+}|B(u,\varepsilon )\subset U)}$.

Isto é para todos os subconxuntos ${\displaystyle U}$ para os que calquera punto en ${\displaystyle U}$ é o centro dalgunha bóla de raio positivo totalmente incluída en ${\displaystyle U}$, ou o que é o mesmo: U non ten puntos na fronteira; non ten fronteira.

Esa topoloxía denomínase “topoloxía inducida por ${\displaystyle d}$ en ${\displaystyle M}$”.

Podemos entón interpretar intuitivamente que un conxunto aberto é unha parte que ten un certo "espesor" arredor de cada un dos seus puntos.

Un subespazo métrico ${\displaystyle (E,d)\,}$ dun espazo métrico ${\displaystyle (M,d)\,}$ é subespazo topolóxico do espazo topolóxico ${\displaystyle (M,T)\,}$, onde ${\displaystyle T\,}$ é a topoloxía en ${\displaystyle M\,}$ inducida por ${\displaystyle d}$. é dicir, ${\displaystyle E\,}$ herda de ${\displaystyle M\,}$ a topoloxía inducida por ${\displaystyle d}$.

Unha veciñanza ${\displaystyle V}$ dun punto ${\displaystyle a}$ dun espazo métrico ${\displaystyle M}$ non é máis que un subconxunto ${\displaystyle V\subset M}$ de xeito que exista un ${\displaystyle r>0}$ tal que a bóla aberta ${\displaystyle B(a,r)\subset V}$. O conxunto ${\displaystyle \{B(a,r):a\in M,r\in \mathbb {R} ,r>0\}}$ é base da topoloxía inducida por ${\displaystyle d}$, e tamén é base das veciñanzas desa topoloxía. Como ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ é denso en ${\displaystyle \mathbb {R} }$, resulta entón que ${\displaystyle \{B(a,r):a\in M,r>0,r\in \mathbb {Q} \}}$ tamén é base das veciñanzas da topoloxía inducida por ${\displaystyle d}$. En consecuencia, todo espazo métrico cumpre o Primeiro Axioma de Numerabilidade.

Todo espazo métrico é espazo de Hausdorff. Ademais, ao igual que ocorre nos espazos pseudométricos, para os espazos métricos son equivalentes as seguintes propiedades: ser espazo de Lindelöf, cumprir o Primeiro Axioma de Numerabilidade e ser separable.

Sistemas axiomáticos alternativos

A propiedade 1 (${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$) séguese da 4 e da 5. Algúns autores empregan a recta real estendida e admiten que a distancia tome o valor ${\displaystyle \infty }$. Calquera métrica tal pode ser escalada a unha métrica finita (empregando ${\displaystyle d'(x,y)=d(x,y)/(1+d(x,y))}$ ou ${\displaystyle d''(x,y)=\min(1,d(x,y))}$) e os dous conceptos de espazo métrico son equivalentes no que á topoloxía se refire. Unha métrica chámase ultramétrica se satisfai a seguinte versión, máis forte, da desigualdade triangular:

${\displaystyle \forall x,y,z\in M,d(x,z)\leq {\mbox{max}}(d(x,y),d(y,z))}$.

Se se elimina a propiedade 3, obténse un espazo pseudométrico. Suprimindo, en cambio, a propiedade 4, obtense un espazo cuasimétrico.

Non obstante, perdéndose simetría neste caso, adoita cambiarse a propiedade 3 de xeito que ambas ${\displaystyle d(x,y)=0}$ e ${\displaystyle d(y,x)=0}$ son necesarias para que ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ se identifiquen. Todas as combinacións do anterior son posibles e referidas polas súas nomenclaturas respectivas (por exemplo como quasi-pseudo-ultramétrico).

Exemplos

• Sexa X un conxunto calquera non baleiro e definamos d

${\displaystyle d(x,y)={\begin{cases}0&{\mbox{se }}x=y\\1&{\mbox{se }}x\neq e\end{cases}}}$

Entón d é unha métrica en X, chamada métrica discreta e (X,d) é espazo métrico; (X, d) chámase espazo discreto.

• Os números reais coa función distancia d(x, y) = |y - x| dada polo valor absoluto, e máis xeralmente n-espazo euclidiano coa distancia euclidiana, son espazos métricos completos. O sistema dos números complexos C é un espazo métrico . C como espazo métrico é igual a R×R.
• Máis xeralmente aínda, calquera espazo vectorial normado é un espazo métrico definindo d(x, y) = ||y - x||. Se ese espazo é completo, chamámolo espazo de Banach.
• Se X é un conxunto e M é un espazo métrico, entón o conxunto de todas as funcións limitadas f : X -> M (é dicir, aquelas funcións cunha imaxe que é un subconxunto limitado de M) pode converterse nun espazo métrico definindo d(f, g) = sup_{x en X} d(f(x), g(x)) para dúas funcións limitadas calquera f e g. Se M é completo, entón este espazo é completo tamén.
• Se X é un espazo topolóxico e M é un espazo métrico, entón o conxunto de todas as funcións continuas limitadas de X a M forma un espazo métrico se definimos a métrica como antes: d(f, g) = sup_{x en X} d(f(x), g(x)) para funcións continuas limitadas f e g. Se M é completo, entón este espazo é completo tamén.

• Se M é un espazo métrico, podemos converter o conxunto K(M) de todos os subconxuntos compactos de M nun espazo métrico definindo a distancia de Hausdorff d(X, Y) = inf{r: para cada x en X existe un y en Y con d(x, y) < r e para cada y en Y existe un x en X con d(x, y) < r). Nesta métrica, dous elementos están preto un do outro se cada elemento dun conxunto está preto dun certo elemento do outro conxunto. Pódese demostrar que K(M) é completo se M é completo.

Unha análise lóxica

• O concepto métrico fundamental é o de función curta, os morfismos da categoría métrica (os isomorfismos, é dicir, aplicacións bi-curtas, son as isometrías), mais a súa expresión usual emprega a orde e a suma nos reais positivos polo tanto,
• 1) é obvio que : | x - |x - y | | = y é o mesmo que x = 0 ou y ≤ x, polo tanto a distancia nos reais positivos da orde feble alí, orde forte (y ≤ x se e só se ... ) é difícil, pero posible, se se acepta unha solución de |x - y | = y i.e. y = x / 2.
• 2) | d(y, z) - |d(y, z) - d´(f(y), f(z)) | | = d´(f(y), f(z)) expresa que f é unha función curta, sen ningunha referencia a unha orde nos reais positivos.
• 3) a seguinte equivalencia da desigualdade triangular

| d(x, y) - d(x, z) | ≤ d(y, z)

expresa (sen ningunha referencia a unha operación nos reais positivos, |x - y| é a distancia alí) o feito que d(x, -) é función curta (polo tanto uniforme, polo tanto continua). d: x - > d(x,-) é unha isometría.

• Reunindo ambas : | d(y, z) - |d(y, z) - | d(x, y) - d(x, z) | | | = | d(x, y) - d(x, z) | expresa desigualdade triangular directamente.
• Un leve cambio : | d(y, z) - |d(z, y) - | d(x, y) - d(x, z) | | | = | d(x, y) - d(x, z) | expresa desigualdade triangular e simetría (facer z = x e empregar | x - d(y, y)| = x).

Espazos metrizables

Dise que un espazo topolóxico ${\displaystyle (X,T)}$ é metrizable cando existe unha distancia ${\displaystyle d}$ cunha topoloxía inducida que sexa precisamente a topoloxía ${\displaystyle T}$.

Un problema fundamental en Topoloxía é determinar se un espazo topolóxico dado é ou non metrizable. Existen diversos resultados ao respecto.

Teorema de metrización de Urysohn

Todo espazo topolóxico regular que cumpra o segundo axioma de numerabilidade é metrizable.

Teorema de metrización de Nagata-Smirnov (condición suficiente)

Todo espazo regular cunha base numerable localmente finita é metrizable.

Teorema de metrización de Nagata-Smirnov (condición necesaria)

Todo espazo metrizable ten unha base numerable localmente finita.

Teorema de metrización de Stone

Todo espazo metrizable é paracompacto.

Teorema de metrización de Smirnov

Un espazo topolóxico é metrizable se e só se é paracompacto e localmente metrizable.

Teorema de metrización de espazos completamente separables

Un espazo topolóxico completamente separable é metrizable se e só se é regular.

Véxase tamén

Bibliografía

• Athanase Papadopoulos, Metric Spaces, Convexity and Nonpositive Curvature, European Mathematical Society, 2004, SBN 978-3-03719-010-4

Outros artigos

• Topoloxía
• Desigualdade triangular
• Lipschitz continua
• Isometría, contracción e función curta
• Recta real estendida
• Medida de Lebesgue
• Función distancia con signo
• Intervalo