Segundo axioma de numerabilidade

En topoloxía, un segundo espazo numerábel, tamén chamado espazo completamente separábel, é un espazo topolóxico cuxa topoloxía ten unha base numerábel. Máis explícitamente, un espazo topolóxico ${\displaystyle T}$ é segundo numerábel se existe algunha colección numerábel ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ de subconxuntos abertos de ${\displaystyle T}$ tal que calquera subconxunto aberto de ${\displaystyle T}$ pódese escribir como unha unión de elementos dalgunha subfamilia de ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$. Dise que un segundo espazo numerábel satisfai o segundo axioma de numerabilidade. Como outros axiomas de numerabilidade, a propiedade de ser segundo numerábel restrinxe o número de conxuntos abertos que pode ter un espazo.

Moitos espazos con "bon comportamento" en matemáticas son segundos numerábeis. Por exemplo, o espazo euclidiano (Rⁿ) coa súa topoloxía habitual é segundo numerábel. Aínda que a base habitual das bólas abertas é non numerábel, pódese limitar á colección de todas as bólas abertas con raios racionais e cuxos centros teñen coordenadas racionais. Este conxunto restrinxido é numerábel e aínda forma unha base.

Propiedades

A segunda numerabilidade é unha noción máis forte que a primeira numerabilidade. Un espazo é primeiro numerábel se cada punto ten unha base local numerábel. Dada unha base para unha topoloxía e un punto x, o conxunto de todos os conxuntos de bases que conteñen x forma unha base local en x . Así, se temos unha base numerábel para unha topoloxía, entón ten unha base local numerábel en cada punto e, polo tanto, cada espazo segundo numerábel é tamén un espazo primeiro numerábel. No entanto, calquera espazo discreto non numerábel é primeiro numerábel mais non segundo numerábel.

A segunda numerabelidade implica outras propiedades topolóxicas. En concreto, cada espazo segundo numerábel é separábel (contén un subconxunto denso numerábel) e Lindelöf (toda cuberta aberta ten unha subcuberta contábel). As implicacións inversas non valen. Por exemplo, a topoloxía de límite inferior na liña real é primeiro numerábel, separábel e Lindelöf, mais non segundo numerábel. Porén, para os espazos métricos, as propiedades de ser segundo numerábeis, separábeis e Lindelöf son todas equivalentes. Polo tanto, a topoloxía de límite inferior na liña real non é metrizábel.

Nos espazos segundo numerábeis, como nos espazos métricos, a compacidade, a compacidade secuencial e a compacidade numerábel son propiedades equivalentes.

O teorema de metrización de Urysohn afirma que todo espazo regular de Hausdorff segundo numerábel é metrizábel. Polo tanto, cada un destes espazos é completamente normal e tamén paracompacto. Ser segundo numerábel é, polo tanto, unha propiedade bastante restritiva nun espazo topolóxico, que require só un axioma de separación para implicar metrizabilidade.

Outras propiedades

• Unha imaxe continua e aberta dun espazo segundo segundo numerábel é segundo numerábel.
• Cada subespazo dun espazo segundo numerábel é segundo numerábel.
• Os cocientes dos espazos segundos numerábeis non teñen por que ser segundo numerábeis; con todo, os cocientes abertos sempre o son.
• Calquera produto numerábel dun segundo espazo numerábel é segundo numerábel. Os produtos non numerábeis non teñen por que ser numerábeis.
• A topoloxía dun espazo segundo numerábel T₁ ten cardinalidade menor ou igual a c (a cardinalidade do continuo).
• Calquera base para un espazo segundo numerábel ten unha subfamilia numerábel que aínda é unha base.
• Cada colección de conxuntos abertos disxuntos nun espazo segundo numerábel é numerábel.

Exemplos

• Considere a unión numerábel disxunta ${\displaystyle X=[0,1]\cup [2,3]\cup [4,5]\cup \dots \cup [2k,2k+1]\cup \dotsb }$ . Definamos unha relación de equivalencia e unha topoloxía cociente identificando os extremos esquerdos dos intervalos, é dicir, identifique 0 ~ 2 ~ 4 ~ ... ~ 2k, etc. X é segundo numerábel, como unha unión numerábel de espazos segundo numerábeis. Porén, X /~ non é primeiro numerábel na clase dos puntos identificados e, polo tanto, tampouco non é o segundo numerábel.
• O espazo anterior non é homeomórfico ao mesmo conxunto de clases de equivalencia dotadas da métrica obvia: é dicir, a distancia euclidiana regular para dous puntos no mesmo intervalo, e a suma das distancias ao punto da esquerda para os puntos que non están no mesmo intervalo; dando unha topoloxía estritamente máis grosa que o espazo anterior. É un espazo métrico separábel (considere o conxunto de puntos racionais) e, polo tanto, é segundo numerábel.
• A liña longa non é segundo numerábel, senón que é primeiro numerábel.

Notas

Véxase tamén

Bibliografía

• Stephen Willard, General Topology, (1970) Addison-Wesley Publishing Company, Reading Massachusetts.
• John G. Hocking and Gail S. Young (1961). Topology. Corrected reprint, Dover, 1988. ISBN 0-486-65676-4

Outros artigos

• Espazo primeiro numerábel.