Théorème de Feuerbach

En mathématiques, le théorème de Feuerbach, du nom du mathématicien Karl Feuerbach, affirme que dans un triangle, le cercle d'Euler est tangent au cercle inscrit et aux trois cercles exinscrits. Les points de contact sont appelés points de Feuerbach du triangle^[1].

Triangle de Feuerbach.

Points de Feuerbach

Les trois points de tangence ${\displaystyle F_{A}^{e},F_{B}^{e},F_{C}^{e}}$ des cercles exinscrits forment le triangle de Feuerbach du triangle ABC^[2].

Alignement du point de Feuerbach inscrit avec les centres des cercles.

Le point de Feuerbach F_e, point de contact du cercle d'Euler et du cercle inscrit, est situé sur la droite des centres (IJ), avec I le centre du cercle inscrit et J le centre du cercle d'Euler.

Soit S, le point de concours des droites ${\displaystyle AF_{A}^{e},BF_{B}^{e},CF_{C}^{e}}$. Alors les points J, I, S et le point de Feuerbach F_e sont alignés et en division harmonique^[2].

Le point S, les centres I et J et le point de Feuerbach F_e sont alignés.

Le point de Feuerbach F_e appartient aussi au cercle circonscrit du triangle cévien du centre I du cercle inscrit, ce dernier étant tangent en F_e au cercle inscrit et au cercle d'Euler^[3].

Le cercle, circonscrit au triangle formé par les pieds des bissectrices, passe par le point de Feuerbach.

Six autres droites concourantes au point de Feuerbach

Trois droites symétriques des côtés du triangle de contact

Soit O le centre du cercle circonscrit et i_A, i_B, i_C les points de contact du triangle ABC avec son cercle inscrit.

Les trois droites symétriques de la droite (IO), par rapport aux côtés du triangle de contact i_Ai_Bi_C, passent par le point de Feuerbach.

Trois droites symétriques des côtés du triangle de Feuerbach

Les trois droites symétriques de la droite (IO), par rapport aux côtés du triangle de Feuerbach ${\displaystyle F_{A}^{e}F_{B}^{e}F_{C}^{e}}$, passent par le point de Feuerbach.

Théorème de Feuerbach-Ayme dans un triangle rectangle

Le cercle de diamètre [O_BO_C] passe par le point de Feuerbach.

Soit ABC un triangle rectangle en A, H le pied de la hauteur de ABC sur (BC), O_B et O_C les centres des cercles inscrits dans les triangles AHB et AHC, et F₀ le point de Feuerbach inscrit du triangle ABC ; alors les droites (C’O_B) et (B’O_C) sont orthogonales et se coupent au point de Feuerbach. Le cercle de diamètre [O_BO_C] passe par F₀.

Remarque : outre le point de Feuerbach, le cercle de diamètre [O_BO_C] contient le pied H de la hauteur issue de A, le point de contact du cercle inscrit dans ABC avec le côté (BC) et les points d'intersection des bissectrices des angles aigus B et C avec la droite des centres (B’C’). Ces deux derniers points sont aussi situés sur les bissectrices en A des triangles AHB et AHC.

Bibliographie

• Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009 (ISBN 978-2-91-635208-4)

Notes et références

1. (en) Brian Sherman, « Feuerbach’s Theorem », Australian Mathematics Education Journal (AMEJ), vol. 3, n^o 1,‎ 2021, p. 44-46
2. (en) Eric W. Weisstein, « Feuerbach Triangle », sur MathWorld
3. (en) Lev Emelyanov et Tatiana Emelyanova, « A Note on the Feuerbach Point », Forum Geometricorum, vol. 1,‎ 2001, p. 121–124 (ISSN 1534-1178, lire en ligne)

Liens externes

• La découverte du théorème par Jean-Louis Ayme sur les-mathematiques.net.
• [PDF] La démonstration synthétique sur le site de Jean-Louis Ayme
• Une démonstration de F. Marsal