Cercle de Brocard

Un triangle et son cercle de Brocard.

En géométrie, le cercle de Brocard d'un triangle est le cercle passant par les points de Brocard, le centre du cercle circonscrit et le point de Lemoine du triangle^[1]. Il a pour diamètre le segment ayant pour extrémités le centre du cercle circonscrit et le point de Lemoine — la droite reliant ces deux points est appelée « axe de Brocard ». Le centre de ce cercle, qui est aussi le centre du premier cercle de Lemoine, porte le nombre de Kimberling X182^[2].

Le cercle tire son nom du mathématicien Henri Brocard^[3],[4], qui a écrit un article sur le sujet pour l'AFAS d'Alger en 1881^[5].

Le rayon du cercle de Brocard a pour valeur (avec a, b et c les longueurs des côtés et R le rayon du cercle circonscrit):

${\displaystyle R{\frac {a^{4}+b^{4}+c^{4}-a^{2}b^{2}-b^{2}c^{2}-c^{2}a^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$

L'équation en coordonnées barycentriques du cercle de Brocard vérifie^[6]

${\displaystyle b^{2}c^{2}x^{2}+a^{2}c^{2}y^{2}+a^{2}b^{2}z^{2}-a^{4}yz-b^{4}xz-c^{4}xy=0.}$

Cercle de Brocard comme cercle des sept points

Le cercle de Brocard est parfois appelé « cercle des sept points », car le centre du cercle circonscrit, le point de Lemoine, les deux points de Brocard et les sommets du triangle de Brocard du triangle de référence sont sur ce cercle^[7].

Notes et références

1. (en) Eric W. Weisstein, « Brocard Circle », sur MathWorld
2. (en) Ross Honsberger, Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, vol. 37, Cambridge University Press, 1995 (ISBN 9780883856390, lire en ligne), p. 110.
3. Brocard summary
4. (en) Laura Guggenbuhl, « Henri Brocard and the geometry of the triangle », The Mathematical Gazette, vol. 37, n^o 322,‎ 1953, p. 241–243 (DOI 10.2307/3610034, JSTOR 3610034).
5. (en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « Henri Brocard », sur MacTutor, université de St Andrews.
6. (en) Peter J. C. Moses, « Circles and triangle centers associated with the Lucas circles », Forum Geometricorum, vol. 5,‎ 2005, p. 97–106 (MR 2195737, lire en ligne)
7. (en) Florian Cajori, A history of elementary mathematics: with hints on methods of teaching, The Macmillan company, 1917 (lire en ligne), p. 261.

Articles connexes

• Figures de Brocard
• Points de Brocard

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Brocard Circle », sur MathWorld