Points de Brocard

Le premier point de Brocard, vu comme intersection de trois cercles.

En géométrie, les points de Brocard sont deux points remarquables associés à un triangle, images l'un de l'autre par changement d'orientation du plan. Ils forment la première « paire bicentrique » P(1) dans l'encyclopédie de Klimberling^[1].

Historique

Le problème a été posé en 1875 par Henri Brocard comme question dans les Nouvelles Annales de mathématiques^[2], et résolu la même année par C. Chadu^[3], puis étudié plus longuement par Brocard en 1877^[4]. L'appellation "points de Brocard" a été proposée par Joseph Neuberg en 1881^[5]. Cependant, la formule de l'angle de Brocard avait déjà été trouvée par August Leopold Crelle en 1816^[6],[7],[8], et Charles Jacobi avait poursuivi l'étude en 1825 ^[9].

Définition

Points de Brocard

Le premier point de Brocard d'un triangle ABC est le point P tel que les angles ${\displaystyle {\widehat {PAB}},}$ ${\displaystyle {\widehat {PBC}}}$ et ${\displaystyle {\widehat {PCA}}}$ orientés positivement soient égaux.

Le second point de Brocard du triangle est le point P' tel que les angles ${\displaystyle {\widehat {P'BA}},}$ ${\displaystyle {\widehat {P'CB}}}$ et ${\displaystyle {\widehat {P'AC}}}$ orientés positivement soient égaux.

L'existence de ces deux points est une conséquence de la version trigonométrique du théorème de Ceva.

Angle de Brocard

Les angles ${\displaystyle {\widehat {PAB}},}$ ${\displaystyle {\widehat {PBC}},}$ ${\displaystyle {\widehat {PCA}},}$ ${\displaystyle {\widehat {P'BA}},}$ ${\displaystyle {\widehat {P'CB}}}$ et ${\displaystyle {\widehat {P'AC}}}$ sont tous égaux à l'angle de Brocard du triangle, noté ${\displaystyle \omega }$, pouvant être calculé à partir d'une des formules :

• ${\displaystyle \cot \omega =\cot {\widehat {A}}+\cot {\widehat {B}}+\cot {\widehat {C}},}$

• ${\displaystyle \tan \omega ={\frac {4\;S}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}},}$
• ${\displaystyle \sin \omega ={\frac {2S}{\sqrt {b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}+a^{2}b^{2}}}},}$
• ${\displaystyle 1/\sin ^{2}\omega =1/\sin ^{2}{\widehat {A}}+1/\sin ^{2}{\widehat {B}}+1/\sin ^{2}{\widehat {C}}}$ ^[10].

où S désigne l'aire du triangle, a, b, c les longueurs de ses côtés, ${\displaystyle {\widehat {A}},{\widehat {B}},{\widehat {C}}}$ ses angles en A, B, C .

Droites de Brocard

On appelle droite de Brocard l'une quelconque des six droites joignant un sommet du triangle à l'un des points de Brocard^[11].

Elles ne sont pas à confondre avec l'axe de Brocard, qui est la droite reliant le centre du cercle circonscrit au triangle à son point de Lemoine^[12].

Coordonnées des points de Brocard

Les coordonnées barycentriques du premier et du deuxième point de Brocard sont respectivement : ${\displaystyle \left({\frac {1}{b^{2}}},{\frac {1}{c^{2}}},{\frac {1}{a^{2}}}\right)}$et ${\displaystyle \left({\frac {1}{c^{2}}},{\frac {1}{a^{2}}},{\frac {1}{b^{2}}}\right)}$.

Leurs coordonnées trilinéaires sont respectivement : ${\displaystyle \left({\frac {c}{b}}:{\frac {a}{c}}:{\frac {b}{a}}\right)}$ et ${\displaystyle \left({\frac {b}{c}}:{\frac {c}{a}}:{\frac {a}{b}}\right)}$.

Le milieu des deux points, référencé X(39) dans l'encyclopédie de Kimberling, a pour coordonnées barycentriques :${\displaystyle \left(a^{2}(b^{2}+c^{2}),b^{2}(c^{2}+a^{2}),c^{2}(a^{2}+b^{2})\right)}$. Ce point milieu a quelques propriétés remarquables : il est sur l'axe de Brocard et est le centre de plusieurs cercles remarquables du triangle, comme ses cercles de Gallatly, de demi-Moses et de Moses^[13].

Constructions

Par des droites isoclines

Les triangles ABC et A(t)B(t)C(t) sont semblables.

Animation de la transformation du triangle A(t)B(t)C(t) pour t variant de 0 à ω.

En considérant que le triangle ABC est dans le sens direct, les trois droites isoclines issues respectivement de A, B, C faisant un même angle t avec les droites (AB),(BC),(CA) découpent un triangle A(t)B(t)C(t) qui reste semblable au triangle ABC ^[10].

Démonstration

Dans le triangle AA(t)C, l'angle en A vaut ${\displaystyle {\widehat {A}}-t}$, donc l'angle en A(t) vaut ${\displaystyle \pi -t-({\widehat {A}}-t)={\widehat {A}}}$, donc dans le triangle A(t)B(t)C(t), l'angle en A(t) est égal à ${\displaystyle {\widehat {A}}}$. Par analogie, on a ${\displaystyle {\widehat {C(t)B(t)A(t)}}={\widehat {B}}}$ et ${\displaystyle {\widehat {A(t)C(t)B(t)}}={\widehat {C}}}$, et les triangles sont bien semblables.

Lorsque t est égal à ω, ce triangle se réduit au premier point de Brocart P.

Or, d'après le théorème de l'angle inscrit, le point B(t) décrit le cercle passant par A et B et tangent à (BC) (son centre est donc à l'intersection de la médiatrice de [AB] et de la perpendiculaire à (BC) passant par B), le point C(t) décrit le cercle passant par B et C et tangent à (CA) et le point A(t) décrit le cercle passant par C et A et tangent à (AB). Ceci permet de construire le point P comme intersection de trois cercles ^[14].

De façon similaire, le deuxième point de Brocard du triangle ABC s'obtient comme intersection du cercle passant par A et B et tangent à (AC), du cercle passant par B et C et tangent à (BA) et du cercle passant par C et A et tangent à (CB).

Points de Brocard d'un triangle, avec les cercles de construction.

Construction de Lemoine

Dans un article de 1885, Émile Lemoine propose une autre construction des points de Brocard à partir du point de Lemoine^[15].

Soit K le point de Lemoine du triangle ABC. On note A' l'intersection de (AK) et (BC), et on définit B' et C' de façon similaire.

• La parallèle à (AC) passant par A' coupe (BC) en N, la parallèle à (BA) passant par B' coupe (CA) en L, et la parallèle à (CB) passant par C' coupe (AB) en M. Alors les droites (AL), (BM) et (CN) sont concourantes et se croisent au premier point de Brocard.
• De même, la parallèle à (AB) passant par A' coupe (AC) en M', la parallèle à (BC) passant par B' coupe (BA) en N', et la parallèle à (CA) passant par C' coupe (CB) en L'. Alors les droites (AL'), (BM') et (CN') sont concourantes et se croisent au second point de Brocard.

Propriétés remarquables

• Les deux points de Brocard sont conjugués isogonaux l'un de l'autre.
• La médiane issue d'un sommet du triangle, la symédiane issue d'un second sommet et une des droites de Brocard issue d'un troisième sommet sont concourantes.

Application à la poursuite triangulaire

Trois chiens placés initialement aux sommets d'un triangle ABC se poursuivent dans le sens A poursuivant B, poursuivant C, poursuivant A  ; R. K. Miller a déterminé en 1871^[10] que le triangle formé par les trois chiens reste semblable à lui-même si et seulement si les vitesses respectives de A,B,C sont  proportionnelles à ${\displaystyle b^{2}c,c^{2}a,a^{2}b}$.

Dans ce cas, le premier point de Brocard du triangle formé par les chiens reste fixe et les chiens se rencontrent simultanément en ce point ; de plus, les courbes décrites sont des spirales logarithmiques^[10], par définition tangentielle de ces dernières.

Troisième point de Brocard

Les coordonnées barycentriques des premier et second points de Brocard invitent à créer un troisième point de Brocard, dont les coordonnées barycentriques sont : ${\displaystyle \left({\frac {1}{a^{2}}},{\frac {1}{b^{2}}},{\frac {1}{c^{2}}}\right)}$.

Ce point porte le numéro X₇₆ dans la nomenclature de Kimberling^[16]. Il est situé sur l'hyperbole de Kiepert.

Notes et références

1. « Bicentric Pairs », sur faculty.evansville.edu
2. Henri Brocard, « Question 1166 », Nouvelles annales de mathématiques,‎ 1875 (lire en ligne)
3. C. Chadu, « Solution de la question 1166 », Nouvelles annales de mathématiques,‎ 1875 (lire en ligne)
4. Henri Brocard, « Propriétés du triangle », Nouvelles Correspondances Mathématiques, vol. 3,‎ 1877, p. 65-69,106-110,187-192
5. J. Neuberg, « .. », Mathesis, vol. 1,‎ 1881, p. 175
6. M. Vigarié, « Sur un ouvrage de Crelle », Journal de mathématiques élémentaires,‎ 1890, p. 33 (lire en ligne [PDF])
7. (de) Ludwig Crelle, Über einige Eigenschaften des ebenen geradlinigen Dreiecks : rücksichtlicht dreier durch Winkel-Spitzen gezogenen geraden Linien ; mit 2 Kupfertafeln., Berlin, 1816 (lire en ligne)
8. Jean-Louis Ayme, « La géométrie de Brocard » [archive] [PDF], p. 17
9. (la) C.F.A. Jacobi, De triangulorum rectilineorum proprietatibus quibusdam nondum satis cognitis, Mumburgi, 1825 (lire en ligne)
10. (en) Arthur Bernhart, « Polygons of Pursuit », Scripta Mathematica 24,‎ 1959, p. 23-50 (lire en ligne)
11. (en) Eric W. Weisstein, « Brocard Line », sur MathWorld
12. (en) Eric W. Weisstein, « Brocard Axis », sur MathWorld
13. (en) Eric W. Weisstein, « Brocard Midpoint », sur MathWorld
14. Mohammed Aassila, 1000 challenges mathématiques, géométrie, Ellipses, 2018, p. 33
15. Émile Lemoine, « Sur une généralisation des propriétés relatives au cercle de Brocard et au point de Lemoine », Nouvelles annales de mathématiques, vol. 3, n^o 4,‎ 1885, p. 201-223 (lire en ligne)
16. Encyclopédie ETC X76

Voir aussi

Articles connexes

• Figures de Brocard
• Cercle de Brocard
• Centre du triangle
• Théorème d'Alasia
• Problème des souris

Liens externes

• Animation GeoGebra