Préfaisceau (théorie des catégories)

En théorie des catégories — une branche des mathématiques — la notion de préfaisceau généralise celle du même nom en géométrie algébrique. Les préfaisceaux y sont des objets particulièrement courants et donnent lieu à la notion de topos sur un site.

Définition

Soient ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ et ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ des catégories, un préfaisceau de ${\displaystyle C}$ à valeurs dans ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ est un foncteur :

${\displaystyle F:{\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }\to {\mathcal {D}}}$

de la catégorie opposée à ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ dans ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$. De manière strictement équivalente, c'est un foncteur contravariant de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ dans ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$^[1].

Un cas très courant est celui où ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ est la catégorie Set des ensembles, qui englobe en particulier toutes les catégories concrètes : catégorie des anneaux, catégorie des groupes abéliens, catégorie des modules sur un anneau… qui est le cadre dans lequel les préfaisceaux de la géométrie algébrique sont considérés.

Lorsque ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ est une catégorie abélienne, on parle de préfaisceau abélien.

Si V est une catégorie monoïdale, on peut définir une notion de préfaisceau V-enrichi, comme foncteur V-enrichi contravariant d'une catégorie enrichie dans une autre.

Un petit préfaisceau est un préfaisceau qui est l'extension de Kan d'un foncteur dont le domaine est une petite catégorie. Si C est une petite catégorie, alors tous les préfaisceaux sur C sont petits.

Catégorie des préfaisceaux

La catégorie des préfaisceaux est la catégorie de foncteurs ${\displaystyle [C^{\mathrm {op} },D]}$, parfois notée ${\displaystyle {\widehat {C}}_{D}}$ ou ${\displaystyle \mathrm {PSh} _{D}(C)}$, c'est-à-dire la catégorie dont :

• les objets sont les foncteurs ${\displaystyle F:C^{\mathrm {op} }\to D}$ ;
• les morphismes sont les transformations naturelles entre ces foncteurs.

Lorsque D = Set, on note généralement ${\displaystyle {\widehat {C}}}$ ou ${\displaystyle \mathrm {PSh} (C)}$ la catégorie des préfaisceaux sur C, sans mention explicite de D.

La catégorie des préfaisceaux d'une petite catégorie dans Set est complète et cocomplète, et admet des limites et colimites point-à-point.

Exemples

• Toute catégorie C est plongée de manière pleine et fidèle dans la catégorie Ĉ des préfaisceaux à valeurs dans Set, par le plongement de Yoneda ${\displaystyle Y_{C}:A\mapsto \operatorname {Hom} _{C}(-,A)}$. Les préfaisceaux de cette forme, et les préfaisceaux qui sont isomorphes à de tels préfaisceaux, sont dits « représentables ».
• Tout préfaisceau à valeurs dans Set est la colimite d'un préfaisceau représentable. On peut écrire cela en termes de cofin :${\displaystyle F(-)=\int ^{c:C}F(c)\times \operatorname {Hom} _{C}(-,c).}$
• Un ensemble simplicial est un préfaisceau sur la catégorie simpliciale.

Articles connexes

• Distributeur (théorie des catégories)
• Théorie des topos

Références

1. Georges Poitou, Paul Jaffard, Introduction aux catégorie et aux problèmes universels, Paris, Ediscience, 1971, p. 105

• Alexander Grothendieck et Jean-Louis Verdier, « Exposé I : Préfaisceaux », dans SGA 4 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas, 1972
• (en) Brian Day et Stephen Lack, « Limits of small functors », J. Pure Appl. Algebr., vol. 210, n^o 3,‎ 2007, p. 651-663 (lire en ligne)