Catégorie enrichie

Une catégorie enrichie sur une catégorie monoïdale ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$, ou ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$-catégorie est une extension du concept mathématique de catégorie, où les morphismes, au lieu de former une classe ou un ensemble dépourvu de structure, sont des éléments de ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$.

Motivation

Le concept de catégorie enrichie part de l'observation que dans de nombreuses situations, les morphismes ont une structure naturelle d'espace vectoriel ou topologique. La catégorie ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ doit être monoïdale afin de pouvoir définir la composition des morphismes, appelés dans ce cas hom-objets au lieu de hom-sets.

Définition

Une catégorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ enrichie sur ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$, où ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ est une catégorie monoïdale, est la donnée des éléments suivants :

• Un ensemble d'objets ${\displaystyle \mathrm {Obj} ({\mathcal {C}})}$ ;
• Pour toute paire d'objets x, y, un objet de ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ appelé hom-objet et noté ${\displaystyle \mathrm {hom} (x,y)}$ ;
• Pour tout triplet d'objets de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, un morphisme dans ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$, dit de composition : ${\displaystyle \mathrm {hom} (b,c)\otimes \mathrm {hom} (a,b)\to \mathrm {hom} (a,c)}$
• Pour tout objet a de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, un morphisme ${\displaystyle {\mathsf {id_{a}}}:1\to \mathrm {hom} (a,a)}$ dit d'identité, où 1 est l'unité du produit tensoriel dans ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$
• Les diagrammes commutatifs correspondant à l'associativité de la composition, et au bon comportement des morphismes identité dans cette composition.

Exemples

• Une catégorie enrichie sur la catégorie Set des ensembles n'est autre qu'une catégorie (au sens usuel) localement petite ;
• Une catégorie enrichie sur la catégorie Top des espaces topologiques est une catégorie topologique (en) ;
• Une catégorie enrichie sur la catégorie des ensembles simpliciaux est une catégorie simplicialement enrichie (en) :
• Une catégorie enrichie sur la catégorie Cat des catégories est une 2-catégorie stricte.

Références

• (en) Max Kelly, Basic Concepts of Enriched Category Theory, vol. 64, Cambridge University Press, coll. « London Mathematical Society Lecture Note Series », 1982
• (en) Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician [détail de l’édition]