Équivalence de Morita

En algèbre, et plus précisément en théorie des anneaux, l'équivalence de Morita est une relation entre anneaux. Elle est nommée d'après le mathématicien japonais Kiiti Morita qui l'a introduite dans un article de 1958^[1].

L'étude d'un anneau consiste souvent à explorer la catégorie des modules sur cet anneau^{[Note 1],[2]}. Deux anneaux sont en équivalence de Morita précisément lorsque leurs catégories de modules sont équivalentes.

L'équivalence de Morita présente surtout un intérêt dans l'étude des anneaux non commutatifs. En effet, l'équivalence de Morita entre anneaux commutatifs coïncide avec l'isomorphisme de ces anneaux^{[Note 2]}. La notion a inspiré des constructions similaires en théorie des topos et dans l'étude des C*-algèbres, parfois également appelées équivalences de Morita dans ces contextes.

Définition

Soit ${\displaystyle R}$ et ${\displaystyle S}$ deux anneaux, alors les propriétés suivantes sont équivalentes^[3] :

• ${\displaystyle R}$ et ${\displaystyle S}$ sont équivalents au sens de Morita ;
• La catégorie des ${\displaystyle R}$-modules à gauche est équivalente à la catégorie des ${\displaystyle S}$-modules à gauches ;
• La catégorie des ${\displaystyle R}$-modules à droite est équivalente à la catégorie des ${\displaystyle S}$-modules à droite ;
• ${\displaystyle R}$ est isomorphe à l'anneau des endomorphismes d'un générateur dans la catégorie des ${\displaystyle S}$-modules (à droite ou à gauche) ;
• ${\displaystyle S}$ est isomorphe à l'anneau des endomorphismes d'un générateur dans la catégorie des ${\displaystyle R}$-modules (à droite ou à gauche).

Exemples

• Deux anneaux isomorphes sont a fortiori équivalents au sens de Morita ;
• Soit ${\displaystyle R}$ un anneau (avec unité), et ${\displaystyle M_{n}(R)}$ l'anneau des matrices carrées à coefficients dans ${\displaystyle R}$. Alors pour tout ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle R}$ et ${\displaystyle M_{n}(R)}$ sont équivalents^[4].

Propriétés

• De nombreuses propriétés sont préservées par l'équivalence de Morita, comme le fait d'être simple, semi-simple, noethérien, artinien.
• En revanche, d'autres propriétés importantes ne sont pas préservées par l'équivalence : le fait d'être commutatif, local, réduit, ou intègre par exemple.
• Si deux anneaux sont équivalents, alors leurs centres sont isomorphes (et a fortiori, équivalents) ;
• Si deux anneaux ${\displaystyle R,S}$ sont équivalents, alors ${\displaystyle R/J(R)}$ et ${\displaystyle S/J(S)}$ sont équivalents, où ${\displaystyle J}$ désigne l'idéal de Jacobson.
• Si deux anneaux sont équivalents, alors il y a une équivalence entre leurs catégories de modules projectifs.

Notes et références

Notes

1. Tout anneau est naturellement doté d'une structure de module (sur lui-même).
2. En effet, le centre d'un anneau est isomorphe au centre de sa catégorie de modules. Deux anneaux équivalents au sens de Morita ont donc des centres isomorphes. Si les anneaux sont commutatifs ils s'identifient à leur centre, ce qui montre le résultat.

Références

1. (en) K. Morita. Duality for modules and its application to the theory of rings with minimum condition, Scientific Report Tokyo Kyoiku Daigaku, Section A, vol 6, 1958, pp 83-142.
2. (en) Anderson, Frank W. (Frank Wylie), 1928-, Rings and categories of modules, Springer-Verlag, 1992 (ISBN 0-387-97845-3, 9780387978451 et 3540978453, OCLC 25632102, lire en ligne)
3. (en) Bass Hyman, Algebraic K-theory, 1968 (OCLC 472192548, lire en ligne), chap. II
4. (en) Ralf Meyer, Morita Equivalence In Algebra And Geometry, 1997 (lire en ligne)