Isomorphisme de catégories

En théorie des catégories, deux catégories ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ et ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ sont isomorphes s'il existe deux foncteurs F : ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ → ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ et G : ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ → ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ tels que l'un est inverse de l'autre, c'est-à-dire tels que FG = 1_D (le foncteur identité de ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$) et GF = 1_C.

Cette notion, assez restrictive, peut être élargie en la notion d'équivalence de catégories.

Exemple

Soit ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ la catégorie des espaces topologiques munis d'une topologie d'Alexandroff, et ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ la catégorie des ensembles munis d'un préordre. Alors les deux catégories sont isomorphes au moyen des deux foncteurs suivants :

• F associe à un espace topologique le même espace, muni de la relation de préordre suivante : ${\displaystyle x\leq y}$ si et seulement si x est adhérent à {y}. F transforme une application continue f de X dans Y en la même application, mais vue comme application croissante de F(X) dans F(Y).
• G associe à un espace préordonné le même espace muni de la topologie engendrée par les ouverts ${\displaystyle \{y\,|\,x\leq y\}}$. G transforme une application croissante f de A dans B en la même application, mais vue comme application continue de G(A) dans G(B).