Il s'est rendu célèbre dans les années 1950 en imitant les grandes voix du théâtre et du music-hall, aussi bien féminines que masculines, avant de rediriger sa carrière vers le théâtre dans les années 1990.
Pendant son service militaire, on lui donne la permission de débuter au music-hall Bobino. Puis, ce sont des tournées en Belgique, Égypte, Afrique du Nord, Italie…
Il fait alors sa rentrée à Bobino avec Juliette Gréco, puis trois tournées consécutives avec Nana Mouskouri. Après avoir été l’une des vedettes de la Tête de l’Art, et à la suite de longues tournées à travers la France, l’Allemagne et la Belgique, Claude Véga fait un triomphe à Bobino, en 1973.
Pour le théâtre où il aspirait à revenir, Claude Véga joue en 1990 et 1991 Drôle de goûter à la Comédie de Paris, adaptée de textes de Boris Vian, puis en 1994 et 1995, La Source bleue de Pierre Laville, mise en scène par Jean-Claude Brialy, aux côtés de Rosy Varte et de Marina Vlady. En 1996, il joue au Cirque d’hiver dans la comédie musicale Piaf, je t’aime qui obtient deux nominations aux Molières. Il remporte un nouveau grand succès en 1998 et 1999 avec Sylvia, mise en scène par Lars Schmidt.
Claude Véga publie le livre Couleurs. La mémoire des autres en 2015 aux Éditions Ovadia, un ouvrage qui se présente sous forme de chroniques et d'anecdotes illustrées par l’auteur de dessins réalisés au crayon de couleurs[5].
La même année paraît chez Marianne Mélodie un CD « best of » reprenant des imitations et des sketches qu’il interprétait en scène.
En 2019 sort chez Elephant films classics le DVD Le meilleur de Claude Véga, à la réalisation duquel il participe activement.
En 2020, les Éditions Ovadia publient un recueil de dessins réalisés entre 1982 et 2012 sous forme d'un calendrier perpétuel : L'intemporel[6].
En 2008, Claude Véga sort un CD d'imitations des années 1950.
En paraît chez Marianne Mélodie un CD réunissant des imitations qu'il produisait sur scène, dont Maria Callas en direct de l'Olympia, mais aussi quelques parodies inédites.
Le paraît un DVD, Le Meilleur de Claude Véga, regroupant 31 sketchs en forme de compilation de ses meilleures imitations, extraites notamment des émissions de variétés de Maritie et Gilbert Carpentier.
Publications
Couleurs, la mémoire des autres, Éditions Ovadia, 2015 ; rééd. 2017.