初等矩阵

线性代数
${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}$
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查 论 编

线性代数中，初等矩阵（又稱為基本矩陣^[1]）是一个与单位矩阵只有微小区别的矩阵。具体来说，一个 n 阶单位矩阵 E 经过一次初等行变换或一次初等列变换所得矩阵称为 n 阶初等矩阵。^[2]

操作

初等矩阵分为3种类型，分别对应着3种不同的行/列变换。

两行（列）互换：

${\displaystyle R_{i}\leftrightarrow R_{j}}$

把某行（列）乘以一非零常数：

${\displaystyle kR_{i}\rightarrow R_{i},\ }$其中${\displaystyle k\neq 0}$

把第 i 行（列）加上第 j 行（列）的 k 倍：

${\displaystyle R_{i}+kR_{j}\rightarrow R_{i}}$

初等矩阵即是将上述 3 种初等变换应用于一单位矩阵的结果。以下只讨论对某列的变换。

行互换

此变换 T_{i j} 将单位矩阵的第 i 行的所有元素与第 j 行互换。

${\displaystyle T_{ij}={\begin{bmatrix}1&&&&&&&\\&\ddots &&&&&&\\&&0&&1&&\\&&&\ddots &&&&\\&&1&&0&&\\&&&&&&\ddots &\\&&&&&&&1\end{bmatrix}}\quad }$

性质

• 逆矩阵即自身：${\displaystyle T_{ij}^{-1}=T_{ij}}$。
• 因为单位矩阵的行列式为1，故 ${\displaystyle \det T_{ij}=-1}$。對所有階數相同的方阵 A 亦有以下性质：${\displaystyle \det T_{ij}A=-\det A}$。

把某行乘以一非零常数

此变换 T_i(m) 将第 i 行的所有元素乘以一個非零常数 m。

${\displaystyle T_{i}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&m&&&\\&&&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}\quad }$

性质

• 逆矩阵为 ${\displaystyle T_{i}(m)^{-1}=T_{i}({\frac {1}{m}})}$。
• 此矩阵及其逆矩阵均为对角矩阵。
• 其行列式 ${\displaystyle \det T_{i}(m)=m}$，故對所有階數相同的方阵 A 都有 ${\displaystyle \det(T_{i}(m)A)=m\det A}$。

把第 i 行加上第 j 行的 m 倍

此变换 T_{i j}(m) 将第 i 行加上第 j 行的 m 倍，其中 m 为第 i 列第 j 行的元素。

${\displaystyle T_{ij}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&&\\&\ddots &&&&&&\\&&1&&&&&\\&&&\ddots &&&&\\&&m&&1&&\\&&&&&&\ddots &\\&&&&&&&1\end{bmatrix}}}$

性质

• 逆矩阵具有性质 ${\displaystyle T_{ij}(m)^{-1}=T_{ij}(-m)}$。
• 此矩阵及其逆矩阵均为三角矩阵。
• 其行列式 ${\displaystyle \det T_{ij}(m)=1}$，故對所有階數相同的方阵 A 有 ${\displaystyle \det(T_{ij}(m)A)=\det A}$。

应用

在解线性方程组中的应用

初等行变换不影响线性方程组的解，也可用于高斯消元法，用于逐渐将系数矩阵化为标准形。初等行变换不改变矩阵的核（故不改变解集），但改变了矩阵的像。反过来，初等列变换没有改变像却改变了核。

用于求解一个矩阵的逆矩阵

有的时候，当矩阵的阶数比较高的时候，使用其行列式的值和伴随矩阵求解其逆矩阵会产生较大的计算量。这时，通常使用将原矩阵和相同列行数的单位矩阵并排，再使用初等变换的方法将这个并排矩阵的左边化为单位矩阵，这时，右边的矩阵即为原矩阵的逆矩阵^[3]。

另见

• 高斯消元法
• 线性方程组
• 矩阵

注释

1. elementary matrix - 基本矩陣. 國家教育研究院. [2014-04-23]. （原始内容存档于2014-09-13）. 
2. 蓝以中. 高等代数简明教程（上册） 第二版. 北京大学出版社. 2007: 123. ISBN 978-7-301-05370-6. 
3. 戴立辉. 线性代数. 同济大学出版社. ISBN 9787560843063. 

参考

• Axler, Sheldon Jay, Linear Algebra Done Right 2nd, Springer-Verlag, 1997, ISBN 0387982590 
• Lay, David C., Linear Algebra and Its Applications 3rd, Addison Wesley, August 22, 2005, ISBN 978-0321287137 
• Meyer, Carl D., Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), February 15, 2001 [2010-07-02], ISBN 978-0898714548, （原始内容存档于2001-03-01） 
• Poole, David, Linear Algebra: A Modern Introduction 2nd, Brooks/Cole, 2006, ISBN 0-534-99845-3 
• Anton, Howard, Elementary Linear Algebra (Applications Version) 9th, Wiley International, 2005 
• Leon, Steven J., Linear Algebra With Applications 7th, Pearson Prentice Hall, 2006