單位矩陣

线性代数
${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}$
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此条目的主題是主對角線元素為1、其餘元素為0的矩陣。关于所有元素皆為1的矩陣，請見「一矩陣」。

在線性代數中，${\displaystyle n}$階單位矩陣，是一個${\displaystyle n\times n}$的方形矩陣，其主對角線元素為1，其餘元素為0。單位矩陣以${\displaystyle I_{n}}$表示；如果階數可忽略，或可由前後文確定的話，也可簡記為${\displaystyle I}$^{[註 1]}（或者${\displaystyle E}$）。

${\displaystyle I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}}$

一些數學書籍使用${\displaystyle U}$和${\displaystyle E}$（分別意為單位矩陣（unit matrix）和基本矩陣（Einheitsmatrix）），不過${\displaystyle I}$更加普遍。

特別是單位矩陣作為所有${\displaystyle n}$階矩陣的環的單位，以及作為由所有${\displaystyle n}$階可逆矩陣構成的一般線性群${\displaystyle GL(n)}$的單位元（單位矩陣明顯可逆，單位矩陣乘自己，仍是單位矩陣）。

這些${\displaystyle n}$階矩陣經常表示來自${\displaystyle n}$維向量空間自己的線性變換，${\displaystyle I_{n}}$表示恆等函數，而不理會基。

有時使用這個記法簡潔的描述對角線矩陣，寫作：

${\displaystyle I_{n}=\operatorname {diag} (1,1,...,1)}$

也可以克羅內克爾δ記法寫作：

${\displaystyle (I_{n})_{ij}=\delta _{ij}}$

性质

根據矩陣乘法的定義，單位矩陣${\displaystyle I_{n}}$的重要性質為：

${\displaystyle AI_{n}=A}$且${\displaystyle I_{n}B=B}$

单位矩阵的特征值皆为1，任何向量都是单位矩阵的特征向量。^[1]具有重數 ${\displaystyle n}$。因为特征值之积等于行列式，所以单位矩阵的行列式为1。因为特征值之等于迹数，单位矩阵的迹为${\displaystyle n}$。

注释

1. 在部分領域中，如量子力學，單位矩陣是以粗體字的1表示，否則無法與I作區別。

参考资料

1. Gilbert Strang. Introduction to Linear Algebra 第四版. 2009: 283 [2014-11-24]. ISBN 0980232716. （原始内容存档于2014-11-23）.