對角矩陣(英語:diagonal matrix)是一类除主對角線之外的元素皆為0的矩陣。對角線上的元素可以為0或其他值。因此若n阶方块矩阵 D {\displaystyle \mathbf {D} } = (di,j)符合以下性質:
d i , j = 0 if i ≠ j ∀ i , j ∈ { 1 , 2 , … , n } {\displaystyle d_{i,j}=0{\mbox{ if }}i\neq j\qquad \forall i,j\in \{1,2,\ldots ,n\}}
則矩陣 D {\displaystyle \mathbf {D} } 為對角矩陣。
[ 1 0 0 0 2 0 0 0 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{bmatrix}}}
均為對角矩陣
[ a 1 a 2 ⋱ a n ] + [ b 1 b 2 ⋱ b n ] = [ a 1 + b 1 a 2 + b 2 ⋱ a n + b n ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1}&&&\\&a_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&a_{n}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{1}&&&\\&b_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&b_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}+b_{1}&&&\\&a_{2}+b_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&a_{n}+b_{n}\end{bmatrix}}}
[ a 1 a 2 ⋱ a n ] [ b 1 b 2 ⋱ b n ] = [ a 1 b 1 a 2 b 2 ⋱ a n b n ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1}&&&\\&a_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}&&&\\&b_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&b_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&&&\\&a_{2}b_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&a_{n}b_{n}\end{bmatrix}}}
[ a 1 a 2 ⋱ a n ] − 1 = [ a 1 − 1 a 2 − 1 ⋱ a n − 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1}&&&\\&a_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&a_{n}\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}a_{1}^{-1}&&&\\&a_{2}^{-1}&&\\&&\ddots &\\&&&a_{n}^{-1}\end{bmatrix}}} 若且唯若 a 1 , a 2 , ⋯ , a n {\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}} 均不為零。
n {\displaystyle n} 阶方阵可进行对角化的充分必要条件是: