Універсальна множина (універсум) — в теорії множин така множина U, для якої перетин цієї множини з будь-якою множиною X збігається з цією множиною X. Універсальна множина єдина.
Формально: U — універсальна множина ⇔ ∀X: X∩U=X.
Таким чином, будь-яка множина X повністю міститься в універсальній множині U. Виходячи з цього можна дати таке визначення універсальної множини: якщо в рамках деякої задачі розглядаються тільки підмножини деякої фіксованої множини U, то сама ця множина U називається універсальною множиною.
Не слід плутати поняття універсальної множини з поняттям множини всіх множин в наївній теорії множин (див. Парадокс Расселла). Існування такої множини всіх множин забороняється аксіоматичною теорією множин.
В алгебрі множин універсальна множина є одиничним елементом.
Також для будь-якої множини X справедливо: X∪U=U.
Властивості універсальної множини
- Будь-який об'єкт, якою б не була його природа є елементом універсальної множини.
![{\displaystyle \forall a\colon a\in U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/578e8c40cdc4c3ef31371201ff8ca0643ab82eeb)
- Зокрема, універсальна множина містить як один з елементів сама себе.
![{\displaystyle U\in U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30cc96572ac7fde2f9098831830219a67dd33775)
- Будь-яка множина є підмножиною універсальної множини.
![{\displaystyle \forall A\colon A\subseteq U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6865ee34b4b4a00b217310de3c87be8f68948e74)
- Зокрема, універсальна множина є власною підмножиною.
![{\displaystyle U\subseteq U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37e50d321463b3c605973cac5394d5f1b09eb9a8)
- Об'єднання універсальної множини з будь-якою іншою множиною дорівнює універсальній множині.
![{\displaystyle \forall A\colon U\cup A=U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6449138b185005e4be93b3ca1e489e9c4613b81)
- Зокрема, об'єднання універсальної множини із собою дорівнює універсальній множині.
![{\displaystyle U\cup U=U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2795e43be867458f8a3ff12e57e8bb2a48c0263)
- Перетин універсальної множини з іншою множиною дорівнює множині, що перетинається з універсальною.
![{\displaystyle \forall A\colon U\cap A=A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c81db4c4294a42d0ae270cc187fe27cb4c5132e)
- Зокрема, перетин універсальної множини із собою дорівнює універсальній множині.
![{\displaystyle U\cap U=U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49197dbc2d149b42d1776abe1648db48124f55db)
- Виключення універсальної множини з будь-якої іншої множини дорівнює порожній множині.
![{\displaystyle \forall A\colon A\setminus U=\varnothing }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1007dba0713b18edab9e1271f30e4e7b7d694238)
- Зокрема, виключення універсальної множини із самої себе дорівнює порожній множині.
![{\displaystyle U\setminus U=\varnothing }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dc743a497b1f8260d0e99f5d326e3ff0b31d754)
- Виключення будь-якої множини з універсальної множини дорівнює доповненню цієї множини.
![{\displaystyle \forall A\colon U\setminus A={\overline {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d37981c0c8bf5f98743a0409ce91c67c8c41059c)
- Доповненням універсальної множини є порожня множина.
![{\displaystyle {\overline {U}}=\varnothing }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba9bf06feb70159de9cbbcc67bb7704a578cbeef)
- Симетрична різниця універсальної множини з будь-якою множиною дорівнює доповненню останної множини.
![{\displaystyle \forall A\colon U\triangle A={\overline {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45dd149f98aee13c1ab5a7116f8b6799e302d238)
- Зокрема, симетрична різниця універсальної множини із собою дорівнює порожній множині.
![{\displaystyle U\triangle U=\varnothing }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a82b73cea532cfca4dd6fb5e9faf74e08b82382d)
Див. також
Джерела