Теорема Масельмана

В евклідовій геометрії теорема Масельмана — це властивість деяких кіл, визначених для довільного трикутника.

Формулювання теореми

Трикутник T з вершинами A, B і C; O — центр описаного кола (червоне).
A*, B* і C* — точки, симетричні точкам A, B і C відносно протилежної сторони.
M — точка перетину кіл Масельмана.
Зелене коло — коло дев'яти точок, N — його центр.
K — точка Косніти.

Нехай дано трикутник ${\displaystyle T}$ з вершинами ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ і ${\displaystyle C}$. Нехай ${\displaystyle A^{*}}$, ${\displaystyle B^{*}}$ і ${\displaystyle C^{*}}$ — вершини трикутника відбиттів ${\displaystyle T^{*}}$, одержуваного дзеркальним відбиттям кожної вершини ${\displaystyle T}$ відносно протилежної сторони^[1]. Нехай ${\displaystyle O}$ — центр описаного кола ${\displaystyle T}$. Розглянемо 3 кола ${\displaystyle S_{A}}$, ${\displaystyle S_{B}}$ і ${\displaystyle S_{C}}$, що проходять через точки ${\displaystyle A\,O\,A^{*}}$, ${\displaystyle B\,O\,B^{*}}$ і ${\displaystyle C\,O\,C^{*}}$ відповідно. Теорема стверджує, що ці три кола Массельмана перетинаються в точці ${\displaystyle M}$, яка є інверсією відносно описаного навколо ${\displaystyle T}$ кола точки Косніти, яка є ізогональним спряженням центра дев'яти точок трикутника ${\displaystyle T}$^[2].

Спільна точка ${\displaystyle M}$ є точкою Гільберта трикутника ${\displaystyle T}$, яка в Енциклопедії центрів трикутника згадана як ${\displaystyle X_{1157}}$^[2][3].

Історія

1939 року теорему запропонували як задачу Масельман (J. R. Musselman) і Горматіг (René Goormaghtigh)^[4], а 1941 року вони надали доведення^[5]. Узагальнення цього результату сформулював і довів Горматіг^[6].

Узагальнення Горматіга

В узагальненні теореми Масельмана Горматігом коло явно не згадано.

Як і раніше, нехай ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ і ${\displaystyle C}$ — вершини трикутника ${\displaystyle T}$, і ${\displaystyle O}$ — центр описаного кола. Нехай ${\displaystyle H}$ — ортоцентр трикутника ${\displaystyle T}$, тобто перетин трьох висот. Нехай ${\displaystyle A'}$, ${\displaystyle B'}$ і ${\displaystyle C'}$ — три точки на відрізках ${\displaystyle OA}$, ${\displaystyle OB}$ і ${\displaystyle OC}$, такі що ${\displaystyle OA'/OA=OB'/OB=OC'/OC=t}$. Розглянемо 3 прямих ${\displaystyle L_{A}}$, ${\displaystyle L_{B}}$ і ${\displaystyle L_{C}}$, перпендикулярних ${\displaystyle OA}$, ${\displaystyle OB}$ і ${\displaystyle OC}$, що проходять через точки ${\displaystyle A'}$, ${\displaystyle B'}$ і ${\displaystyle C'}$ відповідно. Нехай ${\displaystyle P_{A}}$, ${\displaystyle P_{B}}$ і ${\displaystyle P_{C}}$ — точки перетину перпендикулярів із прямими ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle CA}$ і ${\displaystyle AB}$ відповідно.

Нойберг (J. Neuberg) 1884 року помітив, що три точки ${\displaystyle P_{A}}$, ${\displaystyle P_{B}}$ і ${\displaystyle P_{C}}$ лежать на одній прямій ${\displaystyle R}$^[7]. Нехай ${\displaystyle N}$ — проєкція центра описаного кола ${\displaystyle O}$ на пряму ${\displaystyle R}$, а ${\displaystyle N'}$ — точка на ${\displaystyle ON}$, така що ${\displaystyle ON'/ON=t}$. Горматіг довів, що ${\displaystyle N'}$ є інверсією відносно описаного навколо трикутника ${\displaystyle T}$ кола ізогонального спряження точки ${\displaystyle Q}$ на прямій Ейлера ${\displaystyle OH}$, такої, що ${\displaystyle QH/QO=2t}$^[8][9].

Примітка

1. D. Grinberg (2003) On the Kosnita Point and the Reflection Triangle [Архівовано 2015-05-03 у Wayback Machine.]. Forum Geometricorum, volume 3, pages 105—111
2. Weisstein, Eric W. Musselman's Theorem(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
3. Clark Kimberling (2014), Encyclopedia of Triangle Centers, section X(1154) = Gilbert Point. Accessed on 2014-10-08
4. J. R. Musselman and R. Goormaghtigh (1939), Advanced Problem 3928. American Mathematics Monthly, volume 46, page 601
5. J. R. Musselman and R. Goormaghtigh (1941), Solution to Advanced Problem 3928. American Mathematics Monthly, volume 48, pages 281—283
6. Jean-Louis Ayme, le point de Kosnitza, page 10. Online document, accessed on 2014-10-05.
7. J. Neuberg (1884), Mémoir sur le Tetraèdre. According to Nguyen, Neuberg also states Goormaghtigh's theorem, but incorrectly.
8. Khoa Lu Nguyen (2005), A synthetic proof of Goormaghtigh's generalization of Musselman's theorem [Архівовано 2016-03-04 у Wayback Machine.]. Forum Geometricorum, volume 5, pages 17-20
9. Ion Patrascu and Catalin Barbu (2012), Two new proofs of Goormaghtigh theorem. International Journal of Geometry, volume 1, pages=10-19, issn=2247-9880