Нехай ABC — будь-який трикутник на площині. На сторонах BC, CA, AB трикутника будуємо зовнішні правильні трикутникиDBC, ECA і FAB відповідно. Нехай центроїди цих трикутників — X, Y і Z відповідно. Тоді прямі AX, BY і CZ перетинаються в одній точці, і ця точка N1 є першою (або зовнішньою) точкою Наполеона трикутника ABC.
Трикутник XYZ називають зовнішнім трикутником Наполеона трикутника ABC. Теорема Наполеона стверджує, що цей трикутник є правильним.
В Енциклопедії центрів трикутника першу точку Наполеона позначено як X(17).[3]
Нехай ABC — будь-який трикутник на площині. На сторонах BC, CA, AB трикутника будуємо внутрішні рівносторонні трикутники DBC, ECA і FAB відповідно. Нехай X, Y і Z — центроїди цих трикутників відповідно. Тоді прямі AX, BY а CZ перетинаються в одній точці, і ця точка N2 є другою (або внутрішньою) точкою Наполеона трикутника ABC.
Трикутник XYZ називають внутрішнім трикутником Наполеона трикутника ABC. Теорема Наполеона стверджує, що цей трикутник — правильний.
В енциклопедії центрів трикутника другу точку Наполеона позначено як X(18).[3]
Трилінійні координати точки N2:
Барицентричні координати точки N2:
Дві точки, тісно пов'язані з точками Наполеона — це точки Ферма (X13 і X14 в енциклопедії точок). Якщо замість прямих, що з'єднують центроїди рівносторонніх трикутників з відповідними вершинами, провести прямі, що з'єднують вершини рівносторонніх трикутників з відповідними вершинами початкового трикутника, так побудовані три прямі будуть перетинатися в одній точці. Точки перетину називають точками Ферма і позначають як F1 і F2. Перетин прямої Ферма (тобто прямої, що з'єднує дві точки Ферма) і прямої Наполеона (тобто прямої, що з'єднує дві точки Наполеона) є симедіаною трикутника (точка X6 в енциклопедії центрів).
Властивості
Гіпербола Кіперта
Гіпербола Кіперта — описана гіпербола, що проходить через центроїд і ортоцентр. Якщо на сторонах трикутника побудувати подібні рівнобедрені трикутники (назовні або всередину), а потім з'єднати їх вершини з протилежними вершинами початкового трикутника, то три таких прямі перетнуться в одній точці, що лежать на гіперболі Кіперта. Зокрема, на цій гіперболі лежать точки Торрічеллі і точки Наполеона (точки перетину чевіан, що з'єднують вершини з центрами побудованих на протилежних сторонах правильних трикутників).
Узагальнення
Результат про існування точок Наполеона можна узагальнювати різним чином. Для визначення точок Наполеона ми використовували рівносторонні трикутники, побудовані на сторонах трикутника ABC, а потім вибирали центри X, Y і Z цих трикутників. Ці центри можна розглядати як вершини рівнобедрених трикутників, побудованих на сторонах трикутника ABC з кутом при основі π/6 (30°). Узагальнення розглядають інші трикутники, які будуються на сторонах трикутника ABC і мають аналогічні властивості, тобто прямі, що з'єднують вершини побудованих трикутників з відповідними вершинами початкового трикутника, перетинаються в одній точці.
Рівнобедрені трикутники
Точка на гіперболі Кіперта.Гіпербола Кіперта трикутника ABC. Гіпербола проходить через вершини (A, B,C), ортоцентр (O) і центроїд (G) трикутника.
Якщо три трикутники XBC, YCA і ZAB, побудовані на сторонах трикутника ABC, є подібними, рівнобедреними з основами на сторонах початкового трикутника, і однаково розташованими (тобто всі побудовані з зовнішнього боку, або всі побудовані з внутрішнього боку), то прямі AX, BY і CZ перетинаються в одній точці N.
Якщо спільний кут при основі дорівнює , то вершини трьох трикутників мають такі трилінійні координати.
Більше того, геометричне місце точок N при зміні кута при основі трикутників між —π/2 і π/2 є гіперболою
де — трилінійні координати точки N в трикутнику.
Історія
Цю гіперболу називають гіперболою Кіперта (на честь німецького математика Людвіга Кіперта[de], який відкрив її[4]). Ця гіпербола — єдиний конічний перетин, що проходить через точки A, B, C, G і O.
Зауваження
Дуже схожу властивість має центр Шпікера. Центр Шпікера S є точкою перетинів прямих AX, BY і CZ, де трикутники XBC, YCA і ZAB подібні, рівнобедрені і однаково розташовані, побудовані на сторонах трикутника ABC зовні, що мають один і той самий кут біля основи .
Подібні трикутники
Узагальнення точки Наполеона — окремий випадок
Щоб три прямі AX, BY і CZ перетиналися в одній точці, трикутники XBC, YCA і ZAB, побудовані на сторонах трикутника ABC, не обов'язково мають бути рівнобедреними[5].
Якщо подібні трикутники XBC, AYC і ABZ побудовано з зовнішніх боків на сторонах довільного трикутника ABC, то прямі AX, BY і CZ перетинаються в одній точці.
Довільні трикутники
Прямі AX, BY і CZ перетинаються в одній точці навіть за слабших умов. Так умова є однією з найзагальніших умов, щоб прямі AX, BY і CZ перетиналися в одній точці[5]:
Якщо трикутники XBC, YCA і ZAB побудовано з зовнішнього боку на сторонах трикутника ABC так, що
∠CBX = ∠ABZ, ∠ACY = ∠BCX, ∠BAZ = ∠CAY,
то прямі AX, BY і CZ перетинаються в одній точці.
Узагальнення точки Наполеона
Про відкриття точок Наполеона
Коксетер і Грейтцер формулюють теорему Наполеона так: якщо рівносторонні трикутники побудовано з зовнішнього боку на сторонах будь-якого трикутника, то їхні центри утворюють рівносторонній трикутник. Вони зазначають, що Наполеон Бонапарт був трохи математиком і мав великий інтерес до геометрії, однак вони сумніваються, що він був достатньо геометрично освіченим, щоб відкрити теорему, приписувану йому[1].
Найраніша збережена публікація з точками — стаття в щорічному журналі «The Ladies' Diary» (Жіночий щоденник, 1704—1841) у номері за 1825 рік. Теорема входила у відповідь на питання, надіслане У. Резенфордом, проте в цій публікації про Наполеона не згадано.
1981 року німецький історик математики Крістоф Скриба[en] опублікував у журналі Historia Mathematica результати дослідження питання приписування точок Наполеону[6].
Michael de Villiers. Some Adventures in Euclidean Geometry. — Dynamic Mathematics Learning, 2009. — ISBN 9780557102952.
H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer. Geometry Revisited. — Mathematical Association of America, 1967. Перевод: Г. С. М. Коксетер, С. Л. Грейтцер. Новые встречи с геометрией. — М. : «Наука», 1978. — (Библиотека математического кружка)
Christoph J Scriba. Wie kommt 'Napoleons Satz' zu seinem namen? // Historia Mathematica. — 1981. — Т. 8, вип. 4 (28 липня). — DOI:10.1016/0315-0860(81)90054-9.