Гіпербола Кіперта трикутника ABC. Гіпербола Кіперта проходить через вершини (A, B, C),ортоцентр(H) і центроїд(G) трикутника.
Гіпербола Кіперта — гіпербола, яка визначається за даним трикутником. Якщо останній є трикутником загального положення, то ця гіпербола є єдиним конічним перетином, що проходить через його вершини, ортоцентр і центроїд.
Пряма, що проходить через центр описаного кола і точку Лемуана, називається віссю Брокара. На ній лежать точки Аполлонія. Інакше кажучи, гіпербола Кіперта — крива, ізогонально спряжена осі Брокара даного трикутника.
Визначення через трикутники в трикутних координатах
Якщо три трикутники , і побудовані на сторонах трикутника , є подібними, рівнобедреними з основами на сторонах початкового трикутника, і однаково розташованими (тобто всі вони побудовані або з зовнішнього боку, або з внутрішнього), то прямі , і перетинаються в одній точці . Тоді гіперболу Кіперта можна визначити, як геометричне місце точок (див. мал.).
Якщо спільний кут при основі дорівнює , то вершини трьох трикутників мають такі трикутні координати:
Трилінійні координати довільної точки N, що лежить на гіперболі Кіперта
.
Рівняння гіперболи Кіперта в трикутних координатах
Геометричне місце точок при зміненні кута при основі трикутників між і є гіперболою Кіперта з рівнянням
,
де , , — трилінійні координати точки у трикутнику.
Відомі точки, що лежать на гіперболі Кіперта
Серед точок, що лежать на гіперболі Кіперта, є такі важливі точки трикутника[2]:
Гіпербола Кіперта — рівностороння або рівнобічна (тобто її асимптоти перпендикулярні), отже, її центр, позначений в енциклопедії центрів трикутника як Х (115), лежить на колі Ейлера.
Eddy R. H., Fritsch R. . The Conics of Ludwig Kiepert: A Comprehensive Lesson in the Geometry of the Triangle // Math Magazine, 1994, 67. — P. 188—205.