Рівнобедрений трикутник

Рівнобедрений трикутник

Рівнобе́дрений трику́тник, також рівнораме́нний трику́тник^[1][2] або рівнопле́чий трику́тник^[2] — трикутник, у якого дві сторони рівні^[3].

Рівні сторони називають бічними сторонами, а третю сторону — основою рівнобедреного трикутника.

Рівнобедрені трикутники є гранями правильних пірамід, біпірамід, деяких тіл Каталана (триакістетраедр, триакісоктаедр, тетракісгексаедр, пентакісдодекаедр, триакісікосаедр), прямих клинів тощо.

Окремі випадки

До рівнобедрених трикутників належать такі трикутники:

• Правильний трикутник;

Кожен правильний трикутник є рівнобедреним (за означенням), але обернене твердження не є правильним.

Рівнобедрений прямокутний трикутник

• Рівнобедрений прямокутний трикутник;

Має кути: 45, 45° та 90°. Є половиною квадрата.

З усіх прямокутних трикутників, рівнобедрені прямокутні трикутники мають найменше відношення гіпотенузи до суми катетів, а саме √2/2.^{[4]:стор.282,стор.358} та найбільше відношення висоти, проведеної до гіпотенузи до суми катетів, а саме √2/4.^{[4]:стор.282}

• "Золотий трикутник;
• Трикутник Калабі^[en].

Властивості рівнобедреного трикутника

Властивості рівнобедреного трикутника

• Кути, протилежні бічним сторонам рівнобедреного трикутника, рівні.
• Бісектриса, медіана, висота і серединний перпендикуляр рівнобедреного трикутника, проведені до основи, збігаються.
• Бісектриси, проведені з вершин кутів при основі рівнобедреного трикутника, рівні.
• Медіани, проведені до бічних сторін рівнобедреного трикутника, рівні.
• Висоти, проведені до бічних сторін рівнобедреного трикутника, рівні.
• Центри вписаного та описаного кіл рівнобедреного трикутника лежать на прямій, що містить висоту, медіану та бісектрису, проведені до основи.
• Кути, протилежні рівним сторонам, завжди гострі (випливає з їхньої рівності та того, що сума кутів трикутника 180°).
• Має вісь симетрії, що проходить через вершину та середину основи рівнобедреного трикутника; на ній лежать висота (медіана, бісектриса, серединний перпендикуляр), проведені до основи трикутника.

Цікава інформація про доведення властивості кутів при основі рівнобедреного трикутника

Основна властивість рівнобедреного трикутника «кути при його основі рівні» була сформульована в одній із перших теорем «Начал» Евкліда.

Доведення цієї теореми приписують Фалесу Мілетському, який жив за два століття до Євкліда. Пізніше цю теорему назвали Pons asinorum, що на латинській означає «міст віслюків». Пояснюють цю назву, з одного боку, тим, що креслення, використане Евклідом для її доведення, нагадує міст, а з іншого боку — думкою, що тільки віслюки не можуть цей міст перейти.^[5]

Ознаки рівнобедреного трикутника

• Якщо два кути трикутника рівні, то він рівнобедрений.
• Якщо бісектриса, медіана і висота, проведені до однієї сторони трикутника, збігаються, то він рівнобедрений.
• Якщо дві медіани трикутника рівні, то він рівнобедрений.
• Якщо дві висоти трикутника рівні, то він рівнобедрений.
• Якщо дві бісектриси трикутника рівні, то він рівнобедрений. (Доведення цієї ознаки виявилося доволі важким. Це теорема Штейнера-Лемуса.)

Деякі формули для знаходження елементів рівнобедреного трикутника

Нехай ${\displaystyle a}$ — довжина двох рівних сторін рівнобедреного трикутника, ${\displaystyle b}$ — довжина третьої сторони, ${\displaystyle \alpha }$ і ${\displaystyle \beta }$ — відповідні кути, ${\displaystyle R}$ — радіус описаного кола, ${\displaystyle r}$ — радіус вписаного кола.

Рівнобедрений трикутник

Сторони можна знайти так:

${\displaystyle a=2R\sin \alpha ,b=2R\sin \beta }$ (теорема синусів);

${\displaystyle a={\frac {b}{2\cos \alpha }}}$ (наслідок теореми косинусів);

${\displaystyle b=a{\sqrt {2(1-\cos \beta )}}}$ (наслідок теореми косинусів);

${\displaystyle b=2a\sin {\frac {\beta }{2}}}$ ;

${\displaystyle b=2a\cos \alpha }$ (теорема про проєкції).

Кути можна виразити так:

${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi -\beta }{2}}}$;

${\displaystyle \beta =\pi -2\alpha }$;

${\displaystyle \alpha =\arcsin {\frac {a}{2R}},\beta =\arcsin {\frac {b}{2R}}}$ (теорема синусів).

Периметр рівнобедреного трикутника можна обчислити будь-яким з наступних способів:

${\displaystyle P=2a+b}$ (за означенням);

${\displaystyle P=2R(2\sin \alpha +\sin \beta )}$ (наслідок теореми синусів).

Радіус описаного кола можна визначити за формулою:

${\displaystyle R={\frac {a^{2}}{2h}}={\frac {b^{2}}{8h}}+{\frac {h}{2}}={\frac {a^{2}}{\sqrt {4a^{2}-b^{2}}}}}$

Радіус вписаного кола можна визначити за формулою:

${\displaystyle r={\frac {2ab-b^{2}}{4h}}={\frac {b}{2}}\cdot {\sqrt {\frac {2a-b}{2a+b}}}}$

де h — висота, проведена до основи рівнобедреного трикутника.

Центри вписаного та описаного кіл лежать на осі симетрії трикутника.

Площу трикутника можна обчислити за формулами:

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}ah_{a}={\frac {1}{2}}bh_{b}}$, де ${\displaystyle h_{a}}$ та ${\displaystyle h_{b}}$ — висоти, опущені на сторони ${\displaystyle a}$ та ${\displaystyle b}$ відповідно;

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}a^{2}\sin \beta ={\frac {1}{2}}ab\sin \alpha ={\frac {b^{2}}{4\mathrm {tg} \,{\frac {\beta }{2}}}}}$;

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}b{\sqrt {\left(a+{\frac {1}{2}}b\right)\left(a-{\frac {1}{2}}b\right)}}}$ (наслідок з формули Герона).

Застосування

В архітектурі та дизайні

Тупокутий рівнобедрений фронтон Пантеона у Римі

Гостокутний рівнобедрений фронтон над порталом Святого Етьєна, Собор Паризької Богоматері

Рівнобедрені трикутники часто зустрічаються в архітектурі як форми фронтонів та педиментів. У давньогрецькій архітектурі та її подальших імітаціях використовувався тупокутий рівнобедрений трикутник; у готичній архітектурі він був замінений гостокутим рівнобедреним трикутником.^[6] У архітектурі Середніх віків популярності набула ще одна форма рівнобедреного трикутника: єгипетський рівнобедрений трикутник. Це рівнобедрений трикутник, який є гостокутим, але менш гостим, ніж рівносторонній; його висота дорівнює 5/8 основи.^[7] Єгипетський рівнобедрений трикутник повернув у використання в сучасній архітектурі голландський архітектор Гендрік Петрус Берлаге.^[8]

Детальний вигляд модифікованої ферми Уоррена з вертикальними елементами

Конструкції ферм Воррена, такі як мости, зазвичай розташовані у вигляді рівнобедрених трикутників, хоча інколи додаються вертикальні балки для додаткової міцності.^[9] Поверхні, тесельовані тупокутими рівнобедреними трикутниками, можуть використовуватися для створення розкладних конструкцій, що мають два стабільні стани: розгорнутий стан, у якому поверхня розширюється до циліндричного стовпа, та складений стан, у якому вона складається в більш компактну призматичну форму, яку легше транспортувати.^[10] Той самий шаблон теселяції утворює основу ефекту Йошимури, паттерн, що виникає при осьовому стисненні циліндричних поверхонь,^[11] та Ліхтар Шварца, приклад, що використовується в математиці для демонстрації того, що площа гладкої поверхні не завжди може бути точно наближена поліедрами, що збігаються до поверхні.^[12]

Прапор Гаяни

Прапор Сент-Люсії

У графічному дизайні та декоративних мистецтвах рівнобедрені трикутники були частим елементом дизайну в культурах по всьому світу щонайменше з раннього неоліту^[13] до сучасності.^[14] Вони є поширеним елементом дизайну на прапорах та в геральдиці, з'являючись виразно з вертикальною основою, наприклад, на прапорі Гаяни, або з горизонтальною основою на прапорі Сент-Люсії, де вони формують стилізоване зображення гірського острова.^[15] Вони також використовувалися в дизайнах з релігійним або містичним значенням, наприклад, у Шрі Янтрі індуїстської медитативної практики.^[16]

Історія та помилки

Задовго до того, як рівнобедрені трикутники були вивчені давньогрецькими математиками, практики стародавньої єгипетської та вавилонської математики знали, як обчислювати їхню площу. Завдання такого типу включені у Московський математичний папірус та Папірус Рінда.^[17]

Теорема про те, що кути при основі рівнобедреного трикутника є рівними, з'являється як Proposition I.5 у Евкліда.^[18] Цей результат отримав назву pons asinorum (міст осла) або теорема про рівнобедрений трикутник. Конкуруючі пояснення цієї назви включають теорію про те, що це тому, що діаграма, використана Евклідом у його демонстрації результату, нагадує міст, або тому, що це перший складний результат у Евкліда, який розділяє тих, хто може зрозуміти його геометрію, від тих, хто не може.^[19]

Добре відома хиба - фальшиве доведення твердження, що всі трикутники є рівнобедреними, вперше опубліковане В. В. Роуз Боллом у 1892 році,^[20] пізніше передруковане у посмертній книзі Льюїса Керрола Книга картинок Льюїса Керрола.^[21] Ця хиба коренується у відсутності у Евкліда визнання концепції проміжності та пов'язаної з цим двозначності понять всередині та зовні фігур.^[22]

Примітки

1. Пошук | Російсько-українські словники. r2u.org.ua. Процитовано 3 квітня 2024.
2. e2u.
3. А.Г. Мерзляк; В.Б. Полонський; М.С. Якір (2020). Геометрія. 7 клас (PDF) (українська) . Х: Гімназія. с. 77. ISBN 978-966-474-342-3. {{cite book}}: Вказано більш, ніж один |pages= та |page= (довідка)
4. Posamentier, Alfred S., and Lehman, Ingmar. The Secrets of Triangles. Prometheus Books, 2012.
5. Енциклопедія для дітей. Т. 11. Математика / Голов. ред. М. Д. Аксьонова. — М: Аванта +, 2001. — 688 c.: іл.
6. Lardner, (1840), с. 46.
7. Lavedan, (1947).
8. Padovan, (2002).
9. Ketchum, (1920).
10. Pellegrino, (2002).
11. Yoshimura, (1955).
12. Schwarz, (1890).
13. Washburn, (1984).
14. Jakway, (1922).
15. Smith, (2014).
16. Bolton, Nicol та Macleod, (1977).
17. Høyrup, (2008). Хоча "багато ранніх єгиптологів" вважали, що єгиптяни використовували неточну формулу площі - половину добутку основи та сторони, Василь Васильович Струве відстоював думку, що вони використовували правильну формулу - половину добутку основи та висоти (Clagett, 1989). Це питання залежить від перекладу одного зі слів у папірусі Рінда, і якщо це слово перекладається як висота (або точніше як співвідношення висоти до основи), формула є правильною (Gunn та Peet, 1929, с. 173—174).
18. Heath, (1926), p. 251.
19. Venema, (2006), p. 89.
20. Ball та Coxeter, (1987).
21. Carroll, (1899). Див. також Wilson, (2008).
22. Specht та ін., (2015).

Література

• Енциклопедія для дітей. Т. 11. Математика / Голов. ред. М. Д. Аксьонова. — М: Аванта +, 2001. — 688 c.: іл.
• Геометрія: підруч. для 7 кл. закладів заг. серед. освіти / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, М. С. Якір. — Х. : Гімназія, 2020. — 240 с. : іл.
• Рівнобедрений трикутник: означення, властивості, приклади

• Lardner, Dionysius (1840), A Treatise on Geometry and Its Application in the Arts, The Cabinet Cyclopædia, London
• Lavedan, Pierre (1947), French Architecture, Penguin Books, с. 44
• Loeb, Arthur (1992), Concepts and Images: Visual Mathematics, Boston: Birkhäuser Boston, с. 180, ISBN 0-8176-3620-X
• Padovan, Richard (2002), Towards Universality: Le Corbusier, Mies, and De Stijl, Psychology Press, с. 128, ISBN 9780415259620
• Pellegrino, S. (2002), Deployable Structures, CISM International Centre for Mechanical Sciences, т. 412, Springer, с. 99—100, ISBN 9783211836859
• Ketchum, Milo Smith (1920), The Design of Highway Bridges of Steel, Timber and Concrete, New York: McGraw-Hill, с. 107
• Schwarz, H. A. (1890), Gesammelte Mathematische Abhandlungen von H. A. Schwarz, Verlag von Julius Springer, с. 309—311
• Smith, Whitney (26 червня 2014), Flag of Saint Lucia, Encyclopædia Britannica, процитовано 12 вересня 2018
• Yoshimura, Yoshimaru (July 1955), On the mechanism of buckling of a circular cylindrical shell under axial compression, Technical Memorandum 1390, National Advisory Committee for Aeronautics
• Young, Cynthia Y. (2011), Trigonometry, John Wiley & Sons, ISBN 9780470648025
• Washburn, Dorothy K. (July 1984), A study of the red on cream and cream on red designs on Early Neolithic ceramics from Nea Nikomedeia, American Journal of Archaeology, 88 (3): 305—324, doi:10.2307/504554, JSTOR 504554, S2CID 191374019
• Jakway, Bernard C. (1922), The Principles of Interior Decoration, Macmillan, с. 48
• Bolton, Nicholas J; Nicol, D.; Macleod, G. (March 1977), The geometry of the Śrī-yantra, Religion, 7 (1): 66—85, doi:10.1016/0048-721x(77)90008-2
• Gunn, Battiscombe; Peet, T. Eric (May 1929), Four geometrical problems from the Moscow Mathematical Papyrus, The Journal of Egyptian Archaeology, 15 (1): 167—185, doi:10.1177/030751332901500130, JSTOR 3854111, S2CID 192278129
• Hadamard, Jacques (2008), Lessons in Geometry: Plane geometry, переклад: Saul, Mark, American Mathematical Society, ISBN 9780821843673
• Harris, John W.; Stöcker, Horst (1998), Handbook of mathematics and computational science, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-5317-4, ISBN 0-387-94746-9, MR 1621531
• Heath, Thomas L. (1926), The Thirteen Books of Euclid's Elements, т. 1 (вид. 2nd), Cambridge University Press; Dover reprint, 1956, Шаблон:SBN
• Høyrup, Jens (2008), Geometry in Mesopotamia and Egypt, Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures, Springer Netherlands, с. 1019—1023, Bibcode:2008ehst.book.....S, doi:10.1007/978-1-4020-4425-0_8619
• Ionin, Yury J. (2009), Isosceles sets, Electronic Journal of Combinatorics, 16 (1): R141:1–R141:24, doi:10.37236/230, MR 2577309
• Stahl, Saul (2003), Geometry from Euclid to Knots, Prentice-Hall, ISBN 0-13-032927-4
• Usiskin, Zalman; Griffin, Jennifer (2008), The Classification of Quadrilaterals: A Study in Definition, Research in Mathematics Education, Information Age Publishing, ISBN 9781607526001
• Venema, Gerard A. (2006), Foundations of Geometry, Prentice-Hall, ISBN 0-13-143700-3
• Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2009), When less is more: Visualizing basic inequalities, The Dolciani Mathematical Expositions, т. 36, Mathematical Association of America, Washington, DC, ISBN 978-0-88385-342-9, MR 2498836
• Arslanagić, Šefket, Problem η44, Inequalities proposed in Crux Mathematicorum (PDF), с. 151
• Ball, W. W. Rouse; Coxeter, H. S. M. (1987) [1892], Mathematical Recreations and Essays (вид. 13th), Dover, footnote, p. 77, ISBN 0-486-25357-0
• Carroll, Lewis (1899), Collingwood, Stuart Dodgson (ред.), The Lewis Carroll Picture Book, London: T. Fisher Unwin, с. 264—266
• Clagett, Marshall (1989), Ancient Egyptian Science: Ancient Egyptian mathematics, American Philosophical Society, Footnote 68, pp. 195–197, ISBN 9780871692320
• Conway, J.H.; Guy, R.K. (1996), Calabi's Triangle, The Book of Numbers, New York: Springer-Verlag, с. 206
• Smith, Whitney (26 червня 2014), Flag of Saint Lucia, Encyclopædia Britannica, процитовано 12 вересня 2018
• Specht, Edward John; Jones, Harold Trainer; Calkins, Keith G.; Rhoads, Donald H. (2015), Euclidean geometry and its subgeometries, Springer, Cham, с. 64, doi:10.1007/978-3-319-23775-6, ISBN 978-3-319-23774-9, MR 3445044