Призматоїд

Призмато́їд (від грец. prísma, родовий відмінок грец. prísmatos — призма та грец. éidos — вид) — багатогранник, дві грані якого (основи) є багатокутниками з довільною кількістю сторін, що лежать у паралельних площинах, а решта (бокові грані) — трикутники або трапеції, причому у трикутників одна сторона, а у трапецій обидві основи є сторонами основ призматоїда^[1].

Призматоїд

Призматоїди, у яких обидві основи є багатокутниками з однаковим числом вершин, а бічні грані є або паралелограмами, або трапеціями, називаються призмоїдами.^[2]

Об'єм призматоїда :

${\displaystyle V={\frac {S_{1}+4S_{\frac {h}{2}}+S_{2}}{6}}\cdot h}$

де h — висота (відстань між основами) призматоїда,

${\displaystyle S_{1}}$ і ${\displaystyle S_{2}}$ — площі верхньої та нижньої основ призматоїда,

${\displaystyle S_{\tfrac {h}{2}}}$ — площа перерізу, рівновіддаленого від обох основ.

Ця формула випливає з інтегрування площі перерізу, параллельного основам, по формулі Сімпсона, оскільки ця формула є точною для інтегрування поліномів до 3 степеня, а площа перерізу є щонайбільше квадратичною функцією висоти.

Ще одна формула для об'єму призматоїда:^[3]

${\displaystyle V={\frac {S_{1}+3S_{\tfrac {2h}{3}}}{4}}\cdot h}$

де ${\displaystyle S_{\tfrac {2h}{3}}}$ — площа перерізу при перетині площиною, паралельною основам та віддаленою на 2/3 висоти від основи S₁.

Сімейство призматоїдів

Сімейство призматоїдів містить наступні багатогранники, як часткові випадки:

• Піраміда — призматоїд, у якого одна з основ є точкою.
• Зрізана піраміда — призматоїд, у якого основи є різні за розміром однаково орієнтовані n-кутники, а бічні грані є трапеціями.
• Клин — призматоїд, у якого одна з основ є трапецією, а інша - відрізком прямої, що параленьна до основ цієї трапеції.
• Обеліск (зрізаний прямий клин) — призматоїд, нижня і верхня основи якого є прямокутниками, а протилежні бічні грані (рівні рівнобедрені трапеції) - однаково нахилені до основ, але не перетинаються.
• Призма — призматоїд, у якого основи однакові, а бокові грані є прямокутниками або паралелограмами.
  1. Паралелепіпед – призма, основою для якої є паралелограм.
     • Ромбоедр — всі грані - ромби.
     • Трикутний трапецоедр — всі грані - конгруентні ромби.
     • Прямий паралелепіпед — основи - паралелограми, бічні грані - прямокутники.
     • Прямокутний паралелепіпед (кубоїд) — всі грані - прямокутники.
     • Куб — всі грані - квадрати.
  2. Скручені призми — багатогранники, отримані з прямих n-кутних призм (основи - правильні n-кутники) шляхом повороту однієї з основ на де-який кут, не рівний ${\displaystyle {\frac {\pi }{n}}}$
  3. Зірчасті призми.
• Антипризма — призматоїд, у якого основи однакові багатокутники, а сторони є трикутниками.
• Купол — призматоїд, у якого одна з основ є многокутником із удвічі більшою кількістю сторін, а бокові грані є почергово прямокутниками і трикутниками.
• Антикупол — призматоїд, що складається з правильного 2n-кутника (основа антикупола), правильного n-кутника (верхня грань, що паралельна основі), та 3n бокових граней: n рівнобедрених трикутників та 2n різносторонніх трикутників.

Піраміди	Клини	Призми		Антипризми		Куполи	Зрізані піраміди

Узагальнення

Скутоїд

Якщо хоча б одну вершину призматоїда, з якої виходить одне бічне ребро, зрізати площиною так, щоб нова утворена вершина не лежала на протилежній основі, отримаємо багатогранник, що є частинним випадком скутоїдів^[en].

В загальному випадку скутоїд не є багатогранником, оскільки не всі його грані можуть бути плоскими.

Вищі розмірності простору

Тетраедрично-кубоктаедричний 4-купол.

Загалом, політоп є призматоїдальним, якщо його вершини лежать в двох паралельних гіперплощинах.

Наприклад, в чотиривимірному просторі, два багатогранники можуть знаходитись в двох паралельних 3-вимірних просторах та сполучаються багатогранними боковими сторонами.

Примітки

1. William F. Kern, James R Bland Solid Mensuration with proofs, 1938, p.75
2. Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2015). A Mathematical Space Odyssey: Solid Geometry in the 21st Century (англ) . The Mathematical Association of America. p. 85. ISBN 9780883853580.
3. G.B. Halsted (1907, second edition). Rational Geometry: A textbook for the Science of Space. Based on Hilbert’s Foundations, second edition (англ) . New York: John Wiley and Sons.

Джерела

• Фольта О. В., Антонович С. А., Юрковський П. В. Нарисна геометрія. — Л.: Світ, 1994. — 303 с. — ISBN 5-7773-0115-0
• Теоретичні положення та методичні рекомендації за темою «Конструювання деяких поверхонь та перетин їх прямою» Для самостійної роботи студентів машинобудівних спеціальностей /Укладачі. Н. О. Федоренко та ін. — Харків: НТУ «ХПІ», 2003 — 39 с.
• Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2015). A Mathematical Space Odyssey: Solid Geometry in the 21st Century. The Mathematical Association of America. p. 85. ISBN 9780883853580.

Посилання

• Призматоїд // Термінологічний словник-довідник з будівництва та архітектури / Р. А. Шмиг, В. М. Боярчук, І. М. Добрянський, В. М. Барабаш ; за заг. ред. Р. А. Шмига. — Львів, 2010. — С. 160. — ISBN 978-966-7407-83-4.
• «Призматоїд» в УРЕ
• Weisstein, Eric W. Prismatoid на MathWorld.
  • 1 A. Day Bradley, Prismatoid, Prismoid, Generalized Prismoid, The American Math. Monthly, 86, (1979), 486-490.
  • 2 G.B. Halsted, Rational Geometry: A textbook for the Science of Space. Based on Hilbert’s Foundations, second edition, John Wiley and Sons, New York, 1907