Тригонометричний ряд

У математиці тригонометричний ряд — це ряд вигляду:

${\displaystyle {\frac {A_{0}}{2}}+\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(A_{n}\cos {nx}+B_{n}\sin {nx}).}$

Його називають рядом Фур'є, якщо доданки ${\displaystyle A_{n}}$ і ${\displaystyle B_{n}}$ мають вигляд:

${\displaystyle A_{n}={\frac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\!f(x)\cos {nx}\,dx\qquad (n=0,1,2,3\dots )}$

${\displaystyle B_{n}={\frac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\!f(x)\sin {nx}\,dx\qquad (n=1,2,3,\dots )}$

де ${\displaystyle f}$ є інтегровною функцією .

Нулі тригонометричного ряду

Унікальність і нулі тригонометричних рядів активно досліджували в Європі XIX століття. По-перше, Георг Кантор довів, що якщо тригонометричний ряд збіжний до функції ${\displaystyle f(x)}$ на інтервалі ${\displaystyle [0,2\pi ]}$, яка тотожно дорівнює нулю або, загальніше, відмінна від нуля не більше ніж у скінченній кількості точок, то всі коефіцієнти ряду дорівнюють нулю.

Пізніше Кантор довів, що навіть якщо множина S, на якій ${\displaystyle f}$ відмінна від нуля, є нескінченною, але похідна множина S' від S скінченна, то всі коефіцієнти дорівнюють нулю. Насправді він довів загальніший результат. Нехай S₀ = S і S_k+1 — похідна множина від S_k. Якщо існує скінченне число n, для якого S_n скінченна, то всі коефіцієнти дорівнюють нулю. Пізніше Лебег довів, що якщо існує зліченно нескінченний ординал α такий, що S_α скінченна, то всі коефіцієнти ряду дорівнюють нулю. Робота Кантора над проблемою унікальності, як відомо, привела його до винаходу трансфінітних порядкових чисел, які з'явилися як індекси α в S_α^[1].

Див. також

• Теорема Данжуа — Лузіна

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)

Примітки

1. Cooke, Roger (1993), Uniqueness of trigonometric series and descriptive set theory, 1870–1985, Archive for History of Exact Sciences, 45 (4): 281—334, doi:10.1007/BF01886630.