Ряд Лейбніца

Ряд Лейбніца — знакопереміжний ряд, названий ім'ям його дослідника, німецького математика Лейбніца (хоча цей ряд був відомим і раніше):

${\displaystyle 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}-{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{17}}-{\frac {1}{19}}+{\frac {1}{21}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }\,{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}.}$

Збіжність цього ряду зразу випливає з теореми Лейбніца для знакових рядів. Лейбніц показав, що сума ряду дорівнює ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}.}$ Це відкриття вперше показало, що число ${\displaystyle \pi }$, спочатку визначене в геометрії, насправді є універсальною математичною константою; надалі цей факт неодноразово підтверджено.

Швидкість збіжності

Ряд Лейбніца збігається вкрай повільно. Таблиця ілюструє швидкість збіжності до ${\displaystyle \pi }$ ряду, помноженого на 4.

n (число членів ряду)	${\displaystyle 4\cdot \sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}}$ (часткова сума, вірні знаки виділені чорним кольором)	Відносна точність
2	2,666666666666667	0,848826363156775
4	2,895238095238095	0,921582908570213
8	3,017071817071817	0,960363786700453
16	3,079153394197426	0,980124966449415
32	3,110350273698686	0,990055241612751
64	3,125968606973288	0,995026711499770
100	3,131592903558553	0,996816980705689
1.000	3,140592653839793	0,999681690193394
10.000	3,141492653590043	0,999968169011461
100.000	3,141582653589793	0,999996816901138
1.000.000	3,141591653589793	0,999999681690114
10.000.000	3,141592553589793	0,999999968169011
100.000.000	3,141592643589793	0,999999996816901
1.000.000.000	3,141592652589793	0,999999999681690

Історія

Ряд Лейбніца легко отримати через розкладання арктангенса в ряд Тейлора^[1]:

${\displaystyle \operatorname {arctg} x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots }$

Поклавши ${\displaystyle x=1,}$ ми отримуємо ряд Лейбніца.

Ряд Тейлора для арктангенса вперше відкрив індійський математик Мадхава зі Сангамаграми, засновник Керальської школи з Астрономії і Математики (XIV століття). Мадхава використовував ряд^[2][3] для обчислення числа ${\displaystyle \pi }$. Однак ряд Лейбніца з ${\displaystyle x=1,}$ як показано вище, збігається вкрай повільно, тому Мадхава поклав ${\displaystyle x={\frac {\sqrt {3}}{3}}}$ і отримав ряд, що збігається значно швидше^[4]:

${\displaystyle \pi ={\sqrt {12}}\left(1-{1 \over 3\cdot 3}+{1 \over 5\cdot 3^{2}}-{1 \over 7\cdot 3^{3}}+\cdots \right)}$

Сума перших 21 доданка дає значення ${\displaystyle 3{,}14159265359}$, причому всі знаки, крім останнього, правильні^[5].

Праці Мадхави і його учнів не були відомі в Європі XVII століття, і розклад арктангенса незалежно перевідкрили Джеймс Грегорі (1671) і Готфрідом Лейбніц (1676). Тому деякі джерела пропонують називати цей ряд «рядом Мадхави — Лейбніца» або «рядом Грегорі — Лейбніца». Грегорі, втім, не пов'язав цього ряду з числом ${\displaystyle \pi .}$

Прискорення збіжності

Ще одна модифікація ряду Лейбніца, що робить його практично придатним для обчислення ${\displaystyle \pi }$ — попарне об'єднання членів ряду. В результаті отримаємо такий ряд:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{(4n+1)(4n+3)}}}$

Для подальшої оптимізації обчислень можна застосувати формулу Ейлера — Маклорена і методи чисельного інтегрування.

Див. також

• Гармонічний ряд

Примітка

1. Фихтенгольц, 2003, с. 401.
2. Паплаускас А. Б. Доньютоновский период развития бесконечных рядов. Часть I // Историко-математические исследования. — М. : Наука, 1973. — Т. XVIII (3 січня). — С. 104—131.
3. C. T. Rajagopal and M. S. Rangachari. On an untapped source of medieval Keralese Mathematics // Archive for History of Exact Sciences : journal. — 1978. — Vol. 18 (6). — P. 89—102. — DOI:10.1007/BF00348142.
4. Вездесущее число «пи», 2007, с. 47.
5. R C Gupta. Madhava's and other medieval Indian values of pi // Math. Education. — 1975. — Vol. 9, no. 3 (3 January). — P. B45—B48.

Література

• Жуков А. В. Вездесущее число «пи». — 2-е изд. — М. : Издательство ЛКИ, 2007. — 216 с. — ISBN 978-5-382-00174-6.
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)

Посилання

• Weisstein, Eric W. Ряд Грегорі(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.