Целое алгебраическое число

Целыми алгебраическими числами называются комплексные (и, в частности, вещественные) корни многочленов с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом, равным единице.

По отношению к сложению и умножению комплексных чисел, целые алгебраические числа образуют кольцо ${\displaystyle \Omega }$. Очевидно, ${\displaystyle \Omega }$ является подкольцом поля алгебраических чисел и содержит все обычные целые числа.

Пусть ${\displaystyle u}$ — некоторое комплексное число. Рассмотрим кольцо ${\displaystyle \mathbb {Z} [u]}$, порождённое добавлением ${\displaystyle u}$ к кольцу обычных целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Оно образовано всевозможными значениями ${\displaystyle f(u)}$, где ${\displaystyle f(z)}$ — многочлен с целыми коэффициентами. Тогда имеет место следующий критерий: число ${\displaystyle u}$ является целым алгебраическим числом тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \mathbb {Z} [u]}$ — конечнопорождённая абелева группа.

Примеры целых алгебраических чисел

• Гауссовы целые числа.
• Корни из единицы — корни многочлена ${\displaystyle x^{n}-1}$ над полем комплексных чисел.

Свойства

• Все рациональные числа, входящие в ${\displaystyle \Omega }$, являются целыми числами. Другими словами, ни одна несократимая дробь ${\displaystyle m/n}$ со знаменателем, большим единицы, целым алгебраическим числом быть не может.
• Для каждого алгебраического числа ${\displaystyle u}$ существует натуральное число ${\displaystyle n}$ такое, что ${\displaystyle nu}$ — целое алгебраическое число.
• Корень любой степени из целого алгебраического числа тоже является целым алгебраическим числом.

История

Теорию целых алгебраических чисел создали в XIX веке Гаусс, Якоби, Дедекинд, Куммер и другие. Интерес к ней был, в частности, вызван тем, что исторически эта структура оказалась первой в математике, где было обнаружено неоднозначное разложение на простые множители. Классические примеры построил Куммер; скажем, в подкольце целых алгебраических чисел вида ${\displaystyle a+b{\sqrt {-5}}}$ имеют место 2 разложения:

${\displaystyle 6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})\cdot (1-{\sqrt {-5}})}$,

причём в обоих случаях все множители — простые, то есть неразложимы в этом подкольце.

Исследование этой проблемы привело к открытию важных понятий идеала и простого идеала, в структуре которых разложение на простые множители стало возможным определить однозначно.

Литература

• К. Айерлэнд, М. Роузен. Классическое введение в современную теорию чисел. Перевод с английского С. П. Демушкина под редакцией А. Н. Паршина. М.: Мир, 1987, глава 6.
• Боревич З. И., Шафаревич И. P. Теория чисел. М.: Наука, 3-е изд., 1985.— 504 с.
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Мир, 1975, глава 17: Целые алгебраические элементы.
• Гекке Э. Лекции по теории алгебраических чисел, пер. с нем., М. — Л., 1940.
• Гельфонд А. О. Трансцендентные и алгебраические числа, М., 1952.
• Постников М. М. Введение в теорию алгебраических чисел