Простой элемент

Простой элемент ― обобщенное понятие простого числа на случай произвольного коммутативного моноида с двусторонним сокращением, определяется как не являющийся делителем единицы ненулевой элемент ${\displaystyle p\in G}$, такой, что произведение ${\displaystyle ab}$ может делиться на ${\displaystyle p}$ лишь тогда, когда хотя бы один из элементов ${\displaystyle a}$ или ${\displaystyle b}$ делится на ${\displaystyle p}$.

Простой элемент всегда неприводим, в общем случае из неприводимости простоты не следует, но в гауссовой полугруппе понятия неприводимости и простоты совпадают, и более того, если всякий неприводимый элемент из ${\displaystyle G}$ является простым, то полугруппа ${\displaystyle G}$ — гауссова.

Понятие естественным образом переносится на области целостности, в этом случае имеет место эквивалентность неприводимости и простоты элемента для факториальных (гауссовых) колец, и из простоты всех неприводимых элементов в области целостности следует, что кольцо факториально. Кроме того, простота элемента эквивалентна простоте главного идеала, им порождённого.

Существуют также обобщения понятий простоты и неприводимости на некоммутативный случай.

Литература

• Кон П. Свободные кольца и их связи. — М., 1975.
• Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. — 2-е изд. — М.: Физматлит, 1973.
• Простой элемент — статья из Математической энциклопедии. О. А. Иванова
• Шеврин Л. Н. Глава IV. Полугруппы // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1991. — Т. 2. — С. 11—191. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. — ISBN 5-9221-0400-4.