Неприводимый элемент

Неприводи́мый элеме́нт (неразложимый элемент) — одно из основных понятий теории колец.

Пусть ${\displaystyle R}$ — область целостности, т.е. коммутативное кольцо без делителей нуля. Элемент ${\displaystyle p\neq 0}$ называется неприводимым, если он не является обратимым и из равенства ${\displaystyle p=bc}$, следует, что либо ${\displaystyle b}$, либо ${\displaystyle c}$ является обратимым.

Если ${\displaystyle p\neq 0}$ — простой элемент, то есть ${\displaystyle (p)}$ — простой идеал, то ${\displaystyle p}$ неприводим. В самом деле, тогда если ${\displaystyle p=ab}$ имеем в силу простоты ${\displaystyle (p)}$ что, например ${\displaystyle a\in (p)}$. Тогда имеем: ${\displaystyle a=px}$ для некоторого ${\displaystyle x}$, значит ${\displaystyle a=abx}$ и ${\displaystyle bx=1}$, то есть ${\displaystyle b}$ является обратимым. Обратное в общем случае неверно, хотя выполняется для всякого факториального кольца.

Многочлены над кольцом ${\displaystyle R}$ называются неприводимыми, если они являются неприводимыми элементами ${\displaystyle R[x_{1},\ldots ,x_{n}].}$

Литература

• Ван дер Варден Б.Л. Алгебра -М:, Наука, 1975
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.1 -М:, ИЛ, 1963
• Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967

См. также

• Критерий Эйзенштейна
• Неприводимый многочлен