Простой идеал

Простой идеал — естественное обобщение понятия простого числа в теории колец.

Одна из важнейших конструкций коммутативной алгебры, использующих понятие простого идеала, — локализация кольца.

Определение

Идеал ${\displaystyle I}$ в кольце ${\displaystyle A}$ называется простым, если факторкольцо ${\displaystyle A/I}$ по нему является областью целостности.

Равносильная формулировка: если ${\displaystyle I\neq A}$ и из ${\displaystyle ab\in I}$ следует ${\displaystyle a\in I}$ или ${\displaystyle b\in I}$, то ${\displaystyle I}$ являет собой простой идеал.

Связанные понятия

Множество всех простых идеалов кольца ${\displaystyle A}$ образует спектр кольца ${\displaystyle \mathrm {Spec} A}$. В его определение также входит описание топологии и структурного пучка локальных колец, превращающие его в аффинную схему — базовый объект алгебраической геометрии.

Свойства

• Максимальный идеал ${\displaystyle I}$ кольца ${\displaystyle A}$ (то есть собственный идеал, не содержащийся ни в каком другом собственном идеале) является простым.

Доказательство

Действительно, пусть ${\displaystyle ab\in I}$, ${\displaystyle a\notin I}$. Рассмотрим идеал ${\displaystyle J=I+aA}$. Поскольку ${\displaystyle I}$ максимален, либо ${\displaystyle J=I}$ (что невозможно, поскольку ${\displaystyle a\notin I}$), либо ${\displaystyle J=A}$. Но тогда ${\displaystyle 1\in I+aA}$, и, следовательно, ${\displaystyle b\in bI+baA\subseteq I}$ (${\displaystyle bI\subseteq I}$, поскольку идеал замкнут относительно умножения на элементы кольца, ${\displaystyle baA\subseteq I}$ по тем же причинам, а попарные суммы ${\displaystyle bI+baA\subseteq I}$, так как идеал — группа по сложению).

• Идеал ${\displaystyle I}$ прост тогда и только тогда, когда элементы дополнения к нему образуют мультипликативную систему. Подмножество кольца с единицей называется мультипликативной системой, если оно содержит единицу, не содержит нуля и замкнуто по умножению.
• Теорема отделимости: Пусть в коммутативном кольце ${\displaystyle A}$ с единицей задан идеал ${\displaystyle I}$, не пересекающийся с мультипликативной системой ${\displaystyle S_{0}}$. Тогда существует простой идеал ${\displaystyle I_{0}}$, содержащий ${\displaystyle I}$ и не пересекающийся с системой ${\displaystyle S_{0}}$.^{[источник не указан 4134 дня]}
• Теорема о радикале: Пересечение всех простых идеалов, содержащих идеал ${\displaystyle I}$, совпадает с радикалом идеала ${\displaystyle I}$. Радикал идеала ${\displaystyle I}$ — это множество ${\displaystyle {\sqrt {I}}=\{f\in A:\,\exists n\in \mathbb {N} \,\,f^{n}\in I\}}$. Оно также является идеалом кольца ${\displaystyle A}$.

Доказательство

Пусть ${\displaystyle J}$ — простой идеал, содержащий ${\displaystyle I}$. Если элемент ${\displaystyle f}$ принадлежит радикалу ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$, то некоторая его степень принадлежит идеалу ${\displaystyle I\subset J}$, поэтому ${\displaystyle f}$ не может принадлежать дополнению к ${\displaystyle J}$, так как это дополнение — мультипликативная система (если оно содержит ${\displaystyle f}$, то содержит и все его степени). Значит, ${\displaystyle f}$ принадлежит всем простым идеалам, содержащим идеал ${\displaystyle I}$.
Обратно: пусть ${\displaystyle f}$ не принадлежит радикалу ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$. Тогда множество всех его степеней — мультипликативная система, не пересекающаяся с ${\displaystyle I}$. Согласно предыдущей теореме, существует простой идеал, содержащий ${\displaystyle I}$ и не содержащий ни одну из степеней элемента ${\displaystyle f}$. Следовательно, ${\displaystyle f}$ не принадлежит всем простым идеалам, содержащим идеал ${\displaystyle I}$.

Примеры

• В кольце целых чисел ${\displaystyle A=\mathbb {Z} }$ каждый простой идеал имеет вид ${\displaystyle pA}$, где ${\displaystyle p}$ — простое число.

Доказательство

Пусть ${\displaystyle a\in I}$ — наименьшее положительное число в ${\displaystyle I}$. Возьмем произвольное ${\displaystyle b\in I}$ и поделим с остатком на ${\displaystyle a}$ : ${\displaystyle \quad b=a*g+r}$, где ${\displaystyle 0\leq r<a}$. В силу выбора ${\displaystyle a}$, имеем ${\displaystyle r=0}$, т.е. все элементы ${\displaystyle I}$ делятся на ${\displaystyle a}$. Таким образом, ${\displaystyle I=a\mathbb {Z} }$.

Положим, теперь ${\displaystyle I=pA}$. Поскольку из ${\displaystyle ab\in pA}$ следует ${\displaystyle a\in pA}$ или ${\displaystyle b\in pA}$, ${\displaystyle p}$ — простое число.

• В кольце многочленов от одной переменной ${\displaystyle A=\mathbb {R} [x]}$ каждый простой идеал имеет вид ${\displaystyle pA}$, где ${\displaystyle p}$ — неприводимый над ${\displaystyle \mathbb {R} }$ многочлен.
• В кольце многочленов ${\displaystyle A=\mathbb {Q} [x,y]}$ множество ${\displaystyle I=xA+yA}$ является простым идеалом.

Доказательство

Любой элемент ${\displaystyle a\in \mathbb {Q} [x,y]}$ можно представить в виде ${\displaystyle a=a_{0}+a_{1}x+a_{2}y}$, где ${\displaystyle a_{1},a_{2}\in \mathbb {Q} [x,y]}$ — некоторые многочлены, а ${\displaystyle a_{0}\in \mathbb {Q} }$ определено однозначно элементом ${\displaystyle a}$. Условие ${\displaystyle ab\in I}$ равносильно тогда условию ${\displaystyle a_{0}b_{0}=0}$, откуда следует либо ${\displaystyle a_{0}=0}$, либо ${\displaystyle b_{0}=0}$.

Некоммутативный случай

Понятие простого идеала коммутативного кольца является частным случаем понятия первичного идеала: первичным идеалом ${\displaystyle I}$ (не обязательно коммутативного) кольца ${\displaystyle A}$ называется всякий идеал (не совпадающий со всем кольцом) такой, что если два элемента ${\displaystyle a,b\in A}$ таковы, что ${\displaystyle \forall r\in A\ arb\in I}$, то или ${\displaystyle a\in I}$, или ${\displaystyle b\in I}$.

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.