Алгебраическая геометрия — раздел математики, который объединяет алгебру и геометрию. Главным предметом изучения классической алгебраической геометрии, а также в широком смысле и современной алгебраической геометрии, являются множества решений систем алгебраических уравнений. Современная алгебраическая геометрия во многом основана на методах общей алгебры (особенно коммутативной) для решения задач, возникающих в геометрии.
Современная алгебраическая геометрия имеет множественные взаимосвязи с самыми различными областями математики, такими как комплексный анализ, топология или теория чисел. Изучение конкретных систем уравнений с несколькими переменными привело к пониманию важности исследования общих внутренних свойств множеств решений произвольной системы алгебраических уравнений и, как следствие, к глубоким результатам во многих разделах математики.
В XX веке алгебраическая геометрия разделилась на несколько (взаимосвязанных) дисциплин:
Основной поток исследований в алгебраической геометрии XX века шёл при активном использовании понятий общей алгебры, с акцентом на «внутренних» свойствах алгебраических многообразий, не зависящих от конкретного способа вложения многообразия в некоторое пространство. Ключевым её достижением стала теория схемАлександра Гротендика, позволившая применить теорию пучков к исследованию алгебраических многообразий методами, схожими с изучением дифференцируемых и комплексных многообразий. Это привело к расширению понятия точки: в классической алгебраической геометрии точку аффинного многообразия можно было определить как максимальный идеал координатного кольца, тогда как все точки соответствующей аффинной схемы являются простыми идеалами данного кольца. Точку такой схемы можно рассматривать и как обычную точку, и как подмногообразие, что позволило унифицировать язык и инструменты классической алгебраической геометрии. Доказательство Великой теоремы ФермаЭндрю Уайлсом стало одним из ярчайших примеров мощи такого подхода.
Прежде всего нужно зафиксировать основное полеk. В классической алгебраической геометрии, как правило, используется поле комплексных чисел, однако множество результатов остаются верными для любого алгебраически замкнутого поля (в дальнейшем изложении подразумевается алгебраическая замкнутость). Рассмотрим n-мерное аффинное пространство (Причина, по которой рассматривают не векторное пространство над k, заключается в том, чтобы подчеркнуть независимость свойств многообразия от структуры векторного пространства. Элементы основного пространства рассматриваются как точки, а не как вектора). Зафиксируем в аффинном пространстве какой-нибудь базис (в частности, выберем начало координат). Тогда каждому семейству S многочленов из кольцаk[x1,…,xn] можно сопоставить множество V(S) точек, координаты которых удовлетворяют всем многочленам из множества:
На самом деле, свойство функции быть полиномиальной не зависит от выбора базиса, поэтому можно говорить просто о полиномиальных функциях на и о множестве общих нулей семейства таких функций. Множества, представимые в виде V(S), называются алгебраическими множествами.
Любому подмножеству аффинного пространства U можно сопоставить множество I(U) многочленов, равных нулю во всех точках этого множества. Нетрудно проверить, что это множество является идеалом в кольце многочленов. Возникают два естественных вопроса:
Для каких U верно U = V(I(U))?
Для каких множеств многочленов S верно S = I(V(S))?
Очевидно, что для выполнения первого равенства необходимо, чтобы U было алгебраическим множеством; нетрудно также проверить, что это условие достаточно. Поиск ответа на второй вопрос вызывает большие трудности, Давидом Гильбертом была доказана известная теорема Гильберта о нулях, согласно которой I(V(S)) совпадает с радикалом идеала в кольце многочленов, порождённого элементами S; это означает, что существует биективное соответствие между алгебраическими множествами и радикальными идеалами кольца многочленов. Теорема Гильберта о базисе утверждает, что все идеалы в кольце многочленов являются конечнопорождёнными, то есть любое алгебраическое множество можно задать конечным числом уравнений.
Алгебраическое множество называется неприводимым, если его нельзя представить в виде объединения двух меньших алгебраических множеств. Аффинное алгебраическое многообразие[1] — это неприводимое алгебраическое множество; на алгебраическом языке аффинным многообразиям соответствуют простые идеалы кольца многочленов. Любое алгебраическое множество можно представить в виде объединения конечного числа алгебраических многообразий (никакое из которых не является подмножеством другого), и притом единственным образом[2].
Некоторые авторы не проводят терминологического различия между «алгебраическими множествами» и «алгебраическими многообразиями» и вместо этого используют термин «неприводимое алгебраическое множество» (или «неприводимое многообразие»).
Регулярные функции
Регулярная функция на алгебраическом множестве — это функция, являющаяся ограничением на V некоторой полиномиальной функции. Регулярные функции на V образуют кольцо k[V], называемое координатным кольцом этого множества. Это кольцо изоморфно факторкольцу кольца многочленов по I(V) (действительно, если f и g имеют одно и то же ограничение на V, то f − g принадлежит I(V).
Естественным образом определяются регулярные отображения между алгебраическими множествами. А именно, регулярное отображение имеет вид , где — регулярные функции. Регулярное отображение в алгебраическое множество — это регулярная функция в , такая что .
Если задано регулярное отображение , любой регулярной функции можно сопоставить регулярную функцию на по правилу . Отображение является гомоморфизмом колец, так же и каждый гомоморфизм координатных колец определяет регулярное отображение алгебраических множеств (в обратном направлении). Из этих соответствий можно вывести, что категория алгебраических множеств (морфизмы которой — регулярные функции) двойственна категории конечнопорождённых k-алгебр без нильпотентов. Обнаружение этой эквивалентности стало начальной точкой теории схем.
Рациональные функции
В отличие от предыдущего пункта, здесь будут рассматривать только (неприводимые) алгебраические многообразия. С другой стороны, эти определения можно распространить на проективные многообразия.
Если V — аффинное многообразие, его координатное кольцо целостно, и следовательно, имеет поле частных. Это поле обозначается k(V) и называется полем рациональных функций на V. Область определения рациональной функции не обязательно равна всему V, а равна дополнению множества, на котором её знаменатель равен нулю. Аналогично случаю регулярных функций определяется рациональное отображение между многообразиями, аналогично, рациональные отображения взаимно-однозначно соответствуют гомоморфизмам полей рациональных функций.
Два аффинных многообразия называются бирационально эквивалентными, если существуют два рациональных отображения между ними, которые взаимно обратны на областях определения (эквивалентно, поля рациональных функций этих многообразий изоморфны).
Аффинное многообразие называется рациональным многообразием, если оно бирационально эквивалентно аффинному пространству. Другими словами, его можно рационально параметризовать. Например, единичная окружность является рациональной кривой, так как существуют функции
задающие рациональное отображение из прямой в окружность, можно проверить, что и обратное отображение рационально (см. также Стереографическая проекция).
Схемы
В конце 1950-х годов Александр Гротендик дал определение схемы, обобщающее понятие алгебраического многообразия. Аффинная схема — это спектр некоторого кольца (в классической алгебраической геометрии — кольца многочленов) вместе с пучком колец на нём (каждому открытому множеству сопоставляются рациональные функции, определённые в каждой точке множества). Аффинные схемы образуют категорию, которая двойственна категории коммутативных колец, это расширяет двойственность алгебраических множеств и алгебр без нильпотентов. Общие схемы являются результатом склейки нескольких аффинных схем (как топологических пространств с топологией Зарисского).
Вещественная алгебраическая геометрия
Вещественная алгебраическая геометрия — изучение вещественных алгебраических множеств, то есть вещественных решений алгебраических уравнений с вещественными коэффициентами и отображений между ними.
Полуалгебраическая геометрия — изучение полуалгебраических множеств, то есть множеств вещественных решений алгебраических уравнений и неравенств с вещественными коэффициентами, а также отображений между ними.
Базис Грёбнера — это система элементов, порождающих данный идеал в кольце многочленов над полем (не обязательно алгебраически замкнутым); вычисление базиса Грёбнера позволяет определить некоторые свойства алгебраического множества V, заданного этим идеалом в алгебраически замкнутом расширении (например, система уравнений с действительными коэффициентами естественным образом определяет множество комплексных чисел, удовлетворяющих всем уравнениям).
Vпусто (в алгебраически замкнутом расширении исходного поля) тогда и только тогда, когда базис Грёбнера состоит из одной единицы.
Ряды Гильберта позволяют вычислить размерность многообразия V.
Если размерность равна нулю, существует способ вычислить число (всегда конечное) точек многообразия.
Для данного рационального отображения V в другое алгебраическое многообразие базис Грёбнера позволяет вычислить замыкание образа V (в топологии Зарисского) и критические точки отображения.
Информации о базисе Грёбнера недостаточно для вычисления разложения данного множества на неприводимые компоненты, однако существуют алгоритмы решения этой задачи, использующие в том числе и его.
В некоторых случаях вычисление базиса Грёбнера является довольно сложным: в худшем случае он может содержать многочлены, степень которых зависит как двойная экспонента (выражение вида ) от числа переменных в кольце многочленов; число элементов базиса может расти с той же скоростью. Впрочем, это верхняя граница сложности, и во многих случаях с помощью этих алгоритмов можно работать с кольцами многочленов от нескольких десятков переменных.
История
Предыстория: до XIX века
Признаки зарождения алгебраической геометрии можно найти ещё в работах греков V века до н. э. Например, проблема удвоения куба сводится к построению куба, объём которого равен объёму «ящика» для данных a и b, Менехм интерпретировал эту задачу геометрически как построение пересечения двух коник: ay = x2 и xy = ab.[3] В более поздних работах Архимеда и Аполлония конические сечения изучаются более систематически, в том числе с использованием координат. Арабские математики знали способы решения определённых кубических уравнений и могли проинтерпретировать полученные результаты геометрически. Персидский математик и поэт Омар Хайям (XI век) открыл способ решения общего кубического уравнения при помощи пересечения окружности и параболы.[4]
Французские математики Франсуа Виет и, позднее, Рене Декарт и Пьер Ферма кардинально изменили способы геометрических построений, создав аналитическую геометрию. Их основные цели состояли в изучении алгебраических кривых, таких как кривые, заданные диофантовыми уравнениями (в случае Ферма), коники и кубики (в случае Декарта). Примерно в тот же период, Паскаль и Дезарг подошли к проблеме с другой стороны, развив проективную геометрию. Паскаль и Дезарг также исследовали свойства кривых, но только с геометрической точки зрения, используя построения циркулем и линейкой. В конечном счёте, аналитическая геометрия одержала верх над этим подходом, так как снабжала математиков XVIII века конкретными вычислительными инструментами, позволяющие решать физические задачи с использованием нового анализа. В итоге, к концу XVIII века использование алгебраических методов в геометрии сводилось к использованию исчисления бесконечно малых (в частности, его активно использовали Эйлер и Лагранж).
Развитие теории абелевых интегралов привело Бернхарда Римана к созданию теории римановых многообразий. Используя интегралы первого рода, К. Шварц доказал, что кривая, допускающая непрерывную группу бирациональных преобразований в себя, бирационально эквивалентна прямой или эллиптической кривой. Алгебраическая геометрия второй половины XIX века представлена, главным образом, итальянской школой от Кремоны до Энрикеса.
В этот период началась алгебраизация геометрии с использованием коммутативной алгебры: в частности, Давид Гильберт доказал свои теоремы о базисе и Nullstellensatz.
XX век
Идеи построения алгебраической геометрии на основе коммутативной алгебры, интенсивно развивавшейся в 30-х и 40-х годах XX века, восходят к О. Зарисскому и А. Вейлю. Одной из их целей было доказательство результатов итальянской школы: итальянские геометры того периода использовали в доказательствах понятие «общей точки», без какого-либо строгого её определения.
В 1950-х и 60-х годах Жан-Пьер Серр и Александр Гротендик полностью переработали основания алгебраической геометрии с помощью техник теории пучков, теории схем и гомологической алгебры. В 1970-х развитие несколько стабилизировалось, были найдены приложения к теории чисел и к более классическим вопросам алгебраической геометрии: изучению особенностей и модулей.
TVS Motor CompanyJenisPublikIndustriSepeda Motor dan BajaiDidirikan1978PendiriVenu SrinivasanKantorpusatChennai, IndiaTokohkunciVenu Srinivasan, Komisaris K N Radhakrishnan, Presiden dan CEO S G Murali, CFO H S Goindi, Presiden Marketing Harne Vinay Chandrakant, Presiden NPI R Anandakrishnan, VP Business Planning BLP Simha, Presiden Direktur, PT. TVS Indonesia ProdukSepeda motor, Motor Sport, Motor Bebek, Motor Skutik, BajaiIndukTVS GroupAnakusahaPT TVS Motor, IndonesiaSitus webTVSMotor.in TV...
This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Football at the 1995 All-Africa Games – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (May 2017) (Learn how and when to remove this template message) 1995 All-Africa Gamesfootball tournamentTournament detailsHost country ZimbabweCityHarareDates12–23 Septem...
La desconocida Mujer joven con mantilla y basquiña, pintada por Goya hacia 1805. National Gallery of Art.[1] Una basquiña es un tipo de falda o saya usada en España por la mujer en ceremonias, actos religiosos y para salir a la calle, desde el siglo xvi al xix.[2] Está confeccionada con muchos pliegues en la cintura que producen un abultado vuelo en la parte inferior; en su origen se colocaba sobre los guardapiés y solía ser de color negro.[3] Uso Utilizada como fal...
2002 video game This article is about the 2002 video game. For the series, see Ratchet & Clank. For the 2016 re-imagining, see Ratchet & Clank (2016 video game). 2002 video gameRatchet & ClankNorth American box artDeveloper(s)Insomniac GamesPublisher(s)Sony Computer EntertainmentDirector(s)Brian AllgeierDesigner(s)Brian AllgeierProgrammer(s)Alexander HastingsBrian HastingsArtist(s)John Fiorito[1]Dave GuertinGreg BaldwinWriter(s)Brian Hastings[2]John Lally[3]...
Oral and written works in Igbo language This article is part of a series inCulture of Nigeria Society Nigerians History Languages Holidays Religion Topics Architecture Cinema Cuisine Festivals Literature Media Newspapers Television Music Sports Video gaming Symbols Flag Coat of arms Anthem Miss Nigeria World Heritage Sites Religion and folklore Islam Christianity Judaism Igbo Jews Irreligion Secularism Folk beliefs Art Arts Igbo-Ukwu Kingdom of Benin Yoruba Architecture Cuisine Jollof rice Af...
Graduate business school in Spain IESE Business SchoolTypeBusiness schoolEstablished1958 (1958)AffiliationUniversity of NavarraDeanFranz HeukampAcademic staff116 (2021-2022)Administrative staff517Students1,474LocationBarcelonaMadridMunichNew YorkSao PauloLanguageEnglishWebsiteiese.edu IESE Business School is the graduate business school of the University of Navarra. It was established in Barcelona in 1958 by Opus Dei, a Roman Catholic organisation.[1] From 1963, in collaboration ...
WolverinePromosi untuk komik New Avengers #5 (Maret 2005)oleh David FinchInformasi publikasiPenerbitMarvel ComicsPenampilan pertamaCameo: The Incredible Hulk #180 (Oktober 1974)Lengkap: The Incredible Hulk #181 (November 1974)Dibuat oleh Herb Trimpe Len Wein John Romita Sr. Informasi dalam ceritaAlter egoJames HowlettSpesiesManusia MutanAfiliasi tim X-Men Alpha Flight Avengers Weapon X X-Force Nama alias terkenalLogan, Logan Howlett, Patch, Weapon X (Ten), Death, Mutate #9601, Emilio Garra, W...
Region of Kazakhstan Region in KazakhstanAktobe Region Aqtöbe oblysy (Kazakh)Актюбинская область (Russian)RegionАқтөбе облысыFrom the top, Aktolagai Plateau, Aktobe, Oiyl District Coat of armsMap of Kazakhstan, location of Aktobe Province highlightedCoordinates: 50°17′N 57°10′E / 50.283°N 57.167°E / 50.283; 57.167CountryKazakhstanCapitalAktobeGovernment • BodyRegional Mäslihat • ÄkimAskhat Shakh...
2016 TV series The Lion GuardGenreChildren's adventureEducationComing-of-ageComedy dramaMusicalDeveloped byFord RileyDirected byHowy ParkinsVoices of Max Charles Joshua Rush Dusan Brown Diamond White Atticus Shaffer Bryana Salaz[a] Opening themeCall of the Guard performed by The Lion Guard ChorusEnding themeHere Comes the Lion Guard (Seasons 1–2) performed by Beau BlackThe Power of the Roar (Season 3) written by Ford Riley and Beau Black performed by Michael LuwoyeComposers Christop...
Estonian politician Emma Asson Emma Asson (13 July 1889 – 1 January 1965)[1] was an Estonian politician (Social Democrat). She was the first woman to be elected to the Estonian parliament. Asson participated in the creation of the first constitution of the independent Estonia, particularly within the fields of education and gender equality. She also wrote some of the first history textbook in the Estonian language in 1912. Biography Emma Asson was born in Vaabina Parish, Võru Count...
Extinct genus of pachycephalosaurid dinosaur PachycephalosaurusTemporal range: Late Cretaceous (Maastrichtian), 70–66 Ma PreꞒ Ꞓ O S D C P T J K Pg N ↓ Cast of the Sandy specimen, Royal Ontario Museum Scientific classification Domain: Eukaryota Kingdom: Animalia Phylum: Chordata Clade: Dinosauria Clade: †Ornithischia Suborder: †Pachycephalosauria Family: †Pachycephalosauridae Tribe: †Pachycephalosaurini Genus: †PachycephalosaurusBrown & Schlaikjer, 1943 Type spec...
Trafficator in the on position Trafficator in the on position Austin A30 with trafficator deployed Trafficators are semaphore signals which, when operated, protrude from the bodywork of a motor vehicle to indicate its intention to turn in the direction indicated by the pointing signal. Trafficators are often located at the door pillar. History They first appeared in the 1900s, when they were actuated either mechanically or pneumatically. In 1908, Alfredo Barrachini in Rome added electric ligh...
National park in Utah, United States Zion National ParkIUCN category II (national park)Zion Canyon from Angels Landing at sunsetLocation in UtahShow map of UtahLocation in United StatesShow map of the United StatesLocationWashington, Kane, and Iron counties, Utah, United StatesNearest citySpringdale (south), Orderville (east) and Cedar City near Kolob Canyons entranceCoordinates37°18′N 113°00′W / 37.300°N 113.000°W / 37.300; -113.000Area146,597 acres (229....
Finnish athlete Martti TolamoPersonal informationBirth nameMartti Leo TopeliusNationalityFinnishBorn(1907-02-21)21 February 1907Died14 March 1940(1940-03-14) (aged 33)Height1.84 m (6 ft 0 in)Weight76 kg (168 lb)Achievements and titlesPersonal best(s)Pentathlon: 4011 (1930)Long jump: 7.51 (1934) Medal record Men's athletics Representing Finland International University Games 1930 Darmstadt Pentathlon 1933 Turin Long jump 1933 Turin Pentathlon Martti Leo...
Questa voce sugli argomenti allenatori di calcio portoghesi e calciatori portoghesi è solo un abbozzo. Contribuisci a migliorarla secondo le convenzioni di Wikipedia. Segui i suggerimenti dei progetti di riferimento 1, 2. Romeu Silva Nazionalità Portogallo Calcio Ruolo Allenatore (ex Centrocampista) Termine carriera 1988 - giocatore2006 - allenatore Carriera Giovanili 1969-19721º Maio Lourenço Marques Squadre di club1 1972-1975 Vitória Guimarães53 (13)1975-1977 Benf...
This article does not cite any sources. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: 1310s in art – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (September 2023) (Learn how and when to remove this template message) 1300s . 1310s in art . 1320s Art timeline The decade of the 1310s in art involved some significant events. Events 1311: June 9 – Duccio's Maestà al...
This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: American Frozen Food Institute – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (April 2013) (Learn how and when to remove this template message) This article relies excessively on references to primary sources. Please improve this article by adding secondary or t...
Antoine Fortuné Marion Antoine Fortuné Marion. Palacio Longchamp, MarsellaInformación personalNombre en francés Antoine-Fortuné Marion Nacimiento 1833Aix-en-ProvenceFallecimiento 1911ParísSepultura Cementerio Saint-Pierre (Marsella) Nacionalidad francésInformación profesionalÁrea Historia natural, botánicaCargos ocupados Director de Muséum d'histoire naturelle de Marseille (hasta 1900) Empleador Universidad de Provenza Abreviatura en botánica MarionAbreviatura en zoología Ma...