Теорема отделимости

Теорема отделимости — теорема о топологических свойствах метрического пространства.

Формулировка

Каждое метрическое пространство ${\displaystyle X}$ нормально, то есть для любых двух замкнутых в ${\displaystyle X}$ непересекающихся множеств ${\displaystyle F_{1}}$ и ${\displaystyle F_{2}}$, найдутся два открытых множества ${\displaystyle G_{1}}$ и ${\displaystyle G_{2}}$, такие, что ${\displaystyle F_{1}\subset G_{1},F_{2}\subset G_{2},G_{1}\cap G_{2}=\varnothing }$.

Доказательство

Возьмем произвольную точку ${\displaystyle x\in F_{1}}$ и назовем расстоянием от этой точки до множества ${\displaystyle F_{2}}$ число ${\displaystyle \rho (x,F_{2})=\inf _{x_{2}\in F_{2}}\rho (x,x_{2})}$. Такое число существует, так как все числа ${\displaystyle \rho (x,x_{2})\geqslant 0}$, то есть их множество ограничено снизу. Покажем, что в нашем случае ${\displaystyle \rho (x,F_{2})\neq 0}$. Допустим противное, то есть что ${\displaystyle \rho (x,F_{2})=0}$. Это значит, что в множестве ${\displaystyle F_{2}}$ найдется такая последовательность точек ${\displaystyle {\mathcal {f}}x_{(n)}^{2}{\mathcal {g}}}$, что ${\displaystyle \rho (x,x_{(n)}^{2})\rightarrow 0}$. Но тогда ${\displaystyle x=\lim _{n}x_{(n)}^{2}}$, то есть ${\displaystyle x}$ есть предельная точка множества ${\displaystyle F_{2}}$ и, следовательно, в силу замкнутости ${\displaystyle F_{2}}$ будем иметь ${\displaystyle x\in F_{2}}$, что невозможно, ибо ${\displaystyle F_{1}.F_{2}=\varnothing }$. Итак, ${\displaystyle \rho (x,F_{2})=\rho _{x}^{(2)}>0}$. Аналогично ${\displaystyle \rho (y,F_{1})=\rho _{y}^{(1)}>0}$ для произвольной точки ${\displaystyle y\in F_{2}}$. Рассмотрим множества ${\displaystyle G_{1}=\bigcup _{x\in F_{1}}S(x,{\frac {\rho _{x}^{(2)}}{3}})}$ и ${\displaystyle G_{2}=\bigcup _{y\in F_{2}}S(y,{\frac {\rho _{y}^{(1)}}{3}})}$. Оба эти множества - открытые, как суммы открытых шаров, и очевидно, что ${\displaystyle F_{1}\subset G_{1},F_{2}\subset G_{2}}$. Остается доказать, что ${\displaystyle G_{1}\cap G_{2}=\varnothing }$. Предположим противное: пусть ${\displaystyle z}$ - точка из пересечения ${\displaystyle G_{1}\cap G_{2}}$. Так как ${\displaystyle z\in G_{1}}$, то ${\displaystyle z\in S(x_{0},{\frac {\rho _{x_{0}}^{(2)}}{3}})}$ для некоторого ${\displaystyle x_{0}}$, а так как ${\displaystyle z\in G_{2}}$, то ${\displaystyle z\in S(y_{0},{\frac {\rho _{y_{0}}^{(1)}}{3}})}$ для некоторого ${\displaystyle y_{0}}$. Пусть наибольшим из чисел ${\displaystyle \rho _{x_{0}}^{(2)}}$ и ${\displaystyle \rho _{y_{0}}^{(1)}}$ будет, например ${\displaystyle \rho _{y_{0}}^{(1)}}$. Тогда ${\displaystyle \rho _{y_{0}}^{(1)}=\inf _{x\in F_{1}}\rho (y_{0},x)\leqslant \rho (x_{0},y_{0})\leqslant \rho (x_{0},z)+\rho (z,y_{0})<{\frac {\rho _{x_{0}}^{(2)}}{3}}+{\frac {\rho _{y_{0}}^{(1)}}{3}}\leqslant {\frac {2\rho _{y_{0}}^{(1)}}{3}}<\rho _{y_{0}}^{(1)}}$, и мы пришли к абсурду. Поэтому ${\displaystyle G_{1}\cap G_{2}=\varnothing }$, и теорема полностью доказана.

Литература

• Соболев В. И. Лекции по дополнительным главам математического анализа. — М.: Наука, 1968 — стр. 44.