Числа Пизо

Число Пизо^[1][2] (или число Пизо—Виджаярагхавана^[3][4], или PV-число) — любое алгебраическое целое число, большее единицы, модули всех сопряжённых которого строго меньше единицы. Эти числа открыты Акселем Туэ в 1912 году^[5], изучались Годфри Харди с 1919 в связи с диофантовыми приближениями^[6], но получили известность после публикации диссертации Шарля Пизо^[фр.] в 1938^[7]. Исследования продолжили Тирукканнапурам Виджаярагхаван^[англ.] и Рафаэль Салем в 1940-х годах.

С числами Пизо тесно связаны числа Салема: это такое число, что модули всех его сопряжённых не больше 1 и среди них присутствует единичный.

Свойства

Чем больше натуральный показатель степени PV-числа, тем больше эта степень приближается к целому числу. Пизо доказал, что среди нецелых положительных алгебраических чисел, модули которых больше 1, это свойство является исключительным для PV-чисел: если вещественное число ${\displaystyle \alpha >1}$ таково, что последовательность расстояний ${\displaystyle \|\alpha ^{n}\|}$^[8] от его степеней до множества целых чисел принадлежит ${\displaystyle l_{2}}$^{[прояснить]}, то ${\displaystyle \alpha }$ — число Пизо (и, в частности, ${\displaystyle \alpha }$ — алгебраическое).

Наименьшим числом Пизо является единственный вещественный корень кубического уравнения ${\displaystyle x^{3}-x-1=0}$, известный как пластическое число.^[2]

Квадратичные иррациональности, являющиеся числами Пизо:

Значение	многочлен	Числовое значение
${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$	${\displaystyle x^{2}-x-1}$	1,618034… (золотое сечение)
${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle x^{2}-2x-1}$	2,414214… (серебряное сечение)
${\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}}$	${\displaystyle x^{2}-3x+1}$	2,618034… A104457
${\displaystyle 1+{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle x^{2}-2x-2}$	2,732051… A090388
${\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}}$	${\displaystyle x^{2}-3x-1}$	3,302776… A098316 (бронзовое сечение)
${\displaystyle 2+{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle x^{2}-4x+2}$	3,414214…
${\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {17}}}{2}}}$	${\displaystyle x^{2}-3x-2}$	3,561553.. A178255.
${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle x^{2}-4x+1}$	3,732051… A019973
${\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {21}}}{2}}}$	${\displaystyle x^{2}-3x-3}$	3,791288…A090458
${\displaystyle 2+{\sqrt {5}}}$	${\displaystyle x^{2}-4x-1}$	4,236068… A098317

Примечания

1. А. Егоров. Числа Пизо // Квант. — 2005. — № 5. — С. 8—13. Архивировано 4 сентября 2011 года.
   А. Егоров. Числа Пизо (окончание) // Квант. — 2005. — № 6. — С. 9—13. Архивировано 27 ноября 2011 года.
2. Terr, David; Weisstein, Eric W. Pisot Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
3. В. Н. Берестовский, Ю. Г. Никоноров. Цепные дроби, группа GL(2,Z) и числа Пизо // Математические труды. — 2007. — Т. 10, № 1. — С. 97–131.
4. Дж. В. С. Касселс. Введение в теорию диофантовых приближений. — 1961.
5. Axel Thue, "Über eine Eigenschaft, die keine transzendente Grösse haben kann", Christiania Vidensk. selsk. Skrifter, vol. 2, 1912, p. 1-15.
6. Godfrey H. Hardy, "A problem of diophantine approximation", Journal Ind. Math. Soc., vol. 11, 1919, pp. 205—243.
7. Charles Pisot, " La répartition modulo 1 et les nombres algébriques ", Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, II, Ser. 7, 1938, p. 205—248.
8. Здесь ${\displaystyle \|a\|}$ обозначает расстояние от ${\displaystyle a}$ до ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, то есть ${\displaystyle \min(\{a\},1-\{a\})}$, где ${\displaystyle \{a\}}$ — дробная часть числа ${\displaystyle a}$.