Конечнопорождённая абелева группа

Конечнопорождённая абелева группа — абелева группа, заданная конечной системой образующих, то есть такая коммутативная группа ${\displaystyle (G,+)}$, для которой существует конечный набор ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{s}\in G}$, такой что ${\displaystyle \forall x\in G}$ существует представление:

${\displaystyle x=n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+\dots +n_{s}x_{s}}$,

где ${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{s}}$ — целые числа.

Конечнопорождённые абелевы группы имеют сравнительно простую структуру и могут быть полностью классифицированы, возможность свести к ним рассмотрение тех или иных объектов считается ценной. Примеры — целые числа ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$ и числа по модулю ${\displaystyle (\mathbb {Z} _{n},+)}$, любая прямая сумма конечного числа конечнопорождённых абелевых групп также является конечнопорождённой абелевой группой. Согласно теореме о классификации➤, других (с точностью до изоморфизма) конечнопорождённых абелевых групп нет. Например, группа ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,+)}$ рациональных чисел не является конечнопорожденной: если бы существовала порождающая система ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{s}\in \mathbb {Q} }$, то достаточно было бы взять натуральное число ${\displaystyle w}$, взаимно простое со всеми знаменателями чисел из системы, чтобы получить ${\displaystyle 1/w}$, не порождаемое системой ${\displaystyle \{x_{1},\dots ,x_{s}\}}$.

Классификация

Теорема о классификации конечнопорожденных абелевых групп (являющаяся частным случаем классификации конечнопорожденных модулей над областью главных идеалов) утверждает, что любая конечнопорождённая абелева группа ${\displaystyle G}$ изоморфна прямой сумме простых циклических групп и бесконечных циклических групп, где простая циклическая группа — это такая циклическая группа, чей порядок является степенью простого числа. Что значит, что каждая такая группа изоморфна группе вида:

${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}\oplus \mathbb {Z} _{m_{1}}\oplus \dots \oplus \mathbb {Z} _{m_{t}}}$,

где ${\displaystyle n\geqslant 0}$, и числа ${\displaystyle m_{1},\dots ,m_{t}}$ являются (не обязательно различными) степенями простых чисел. Значения ${\displaystyle n,m_{1},\dots ,m_{t}}$ однозначно определены (с точностью до порядка) группой ${\displaystyle G}$, в частности, ${\displaystyle G}$ конечна тогда и только тогда, когда ${\displaystyle n=0}$.

На основании того факта что ${\displaystyle G_{m}}$ будет изоморфно произведению ${\displaystyle G_{j}}$ и ${\displaystyle G_{k}}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle j}$ и ${\displaystyle k}$ взаимно просты и ${\displaystyle m=jk}$, мы также можем представить любую конечнопорождённую группу ${\displaystyle G}$ в форме прямой суммы

${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}\oplus \mathbb {Z} _{k_{1}}\oplus \dots \oplus \mathbb {Z} _{k_{u}}}$,

где ${\displaystyle k_{1}}$ делит ${\displaystyle k_{2}}$, который делит ${\displaystyle k_{3}}$ и так далее до ${\displaystyle k_{u}}$. И снова, числа ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle k_{1},\dots ,k_{u}}$ однозначно заданы группой ${\displaystyle G}$.

Литература

• Мельников О. В., Ремесленников В. Н., Романьков В. А. . Глава II. Группы // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 66—290. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.