Струя (математика)

Струя (или джет, от англ. jet) — структура, однозначно определённая частными производными функции (или сечения) в точке до некоторого порядка. Например k-струя функции ${\displaystyle f}$ в нуле однозначно описывается следующей последовательностью из ${\displaystyle (k+1)}$-го числа:

${\displaystyle f(0),f'(0),\dots ,f^{(k)}(0).}$

Струи и ростки предоставляют инвариантный язык для теории дифференциальных уравнений на гладких многообразиях.

Определения

Аналитическое определение

k-струя гладкого расслоения ${\displaystyle E}$ на многообразии ${\displaystyle M}$ в точке ${\displaystyle x}$ — совокупность гладких сечений имеющих одинаковые многочлены Тейлора k-ой степени в точке ${\displaystyle x}$ в одной некоторой (а значит и в любой) карте ${\displaystyle x}$.

Пространство ${\displaystyle k}$-струй в точке ${\displaystyle x}$ обозначается как ${\displaystyle J_{x}^{k}}$.

Алгебро-геометрическое определение

Это определение основано на идеях алгебраической геометрии и коммутативной алгебры. Пусть ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} _{p}^{n},\;\mathbb {R} ^{m})}$ — векторное пространство ростков гладких отображений ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ в точке ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$. Пусть ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}}$ — идеал отображений, равных нулю в точке ${\displaystyle p}$ (это максимальный идеал локального кольца ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} _{p}^{n},\;\mathbb {R} ^{m})}$), а ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}}$ — идеал, состоящий из ростков всех отображений, равных нулю в точке ${\displaystyle p}$ с точностью до ${\displaystyle k}$-го порядка. Определим пространство струй в точке ${\displaystyle p}$ как

${\displaystyle J_{p}^{k}(\mathbb {R} ^{n},\;\mathbb {R} ^{m})=C^{\infty }(\mathbb {R} _{p}^{n},\;\mathbb {R} ^{m})/{\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}.}$

Если ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ — гладкое отображение, то можно определить ${\displaystyle k}$-струю ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle p}$ как элемент ${\displaystyle J_{p}^{k}(\mathbb {R} ^{n},\;\mathbb {R} ^{m})}$, для которого

${\displaystyle J_{p}^{k}f=f\,({\bmod {\,}}{\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}).}$

Теорема Тейлора

Независимо от определения, теорема Тейлора устанавливает канонический изоморфизм между векторными пространствами ${\displaystyle J_{p}^{k}(\mathbb {R} ^{n},\;\mathbb {R} ^{m})}$ и ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}[z]/(z^{k+1})}$, поэтому струи функций на евклидовом пространстве зачастую отождествляются с соответствующими многочленами Тейлора.

Пространство струй из точки в точку

Мы определили пространство ${\displaystyle J_{p}^{k}(\mathbb {R} ^{n},\;\mathbb {R} ^{m})}$ струй в точке ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$. Подпространство, содержащее те струи отображения ${\displaystyle f}$, для которых ${\displaystyle f(p)=q}$, обозначается

${\displaystyle J_{p}^{k}(\mathbb {R} ^{n},\;\mathbb {R} ^{m})_{q}=\{J^{k}f\in J_{p}^{k}(\mathbb {R} ^{n},\;\mathbb {R} ^{m})\mid f(p)=q\}.}$

Струи сечений гладкого расслоения

Пусть ${\displaystyle Y\to X}$ — гладкое расслоение. Струёй ${\displaystyle k}$-го порядка ${\displaystyle j_{x}^{k}s}$ его сечений ${\displaystyle s}$ называется класс эквивалентности этих сечений, отождествляемых, если их значения и значения их частных производных до ${\displaystyle k}$-го порядка в точке ${\displaystyle x}$ совпадают. Струи ${\displaystyle k}$-го порядка образуют гладкое многообразие ${\displaystyle J^{k}Y}$, называемое многообразием струй.

Теория связностей, теория дифференциальных операторов и лагранжева теория на гладких расслоениях (в том числе классическая теория поля) формулируются в терминах многообразий струй ${\displaystyle J^{k}Y}$.

Литература

• Бочаров А. В., Вербовецкий А. М.., Виноградов А. М., Дужин С. М., Красильщик И. С., Самохин А. В., Торхов Ю. Н., Хорькова Н. Г., Четвериков В. Н., под редакцией Виноградова А. М. и Красильщика И. С. Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики — М.: Факториал, 2005 — 380 с. ISBN 5-88688-074-7
• Виноградов А. М., Красильщик И. С., Лычагин В. В. Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1986. — 336 с.
• Мишачев Н.М., Элиашберг Я.М. Введение в h-принцип. — М.: Московский центр непрерывного математического образования, 2004. — ISBN 5-94057-126-3.
• Saunders D. The geometry of jet bundles. — Cambridge: Cambridge Univ. Press., 1989.
• Сарданашвили Г. А. Современные методы теории поля. 1. Геометрия и классические поля. — М.: УРСС, 1996. — 224 с. — ISBN 5-88417-087-4.
• Sardanashvily, G., Fibre bundles, jet manifolds and Lagrangian theory. Lectures for theoreticians,arXiv: 0908.1886
• Павлова Н.Г., Ремизов А.О. Введение в теорию особенностей. — М.: Изд-во МФТИ, 2022. — 181 с. — ISBN 978-5-7417-0794-4.