Гладкое расслоение

Гладкое расслоение — локально тривиальное расслоение с гладкими функциями перехода.

Определение

Пусть ${\displaystyle Y}$ и ${\displaystyle X}$ — гладкие многообразия. Эпиморфизм многообразий ${\displaystyle \pi \colon Y\to X}$ называется гладким расслоением, если существуют: открытое покрытие ${\displaystyle (U_{i})}$ многообразия ${\displaystyle X}$, многообразие ${\displaystyle V}$ и семейство диффеоморфизмов ${\displaystyle \varphi _{i}\colon \pi ^{-1}(U_{i})\to U_{i}\times V}$, связанных гладкими функциями перехода ${\displaystyle \rho _{ij}=\varphi _{i}\varphi _{j}^{-1}}$ на ${\displaystyle (U_{i}\cap U_{j})\times V}$.

Гладкое расслоение является локально тривиальным расслоением с пространством расслоения ${\displaystyle Y}$, базой ${\displaystyle X}$, типичным слоем ${\displaystyle V}$ и атласом расслоения ${\displaystyle (U_{i},\;\varphi _{i},\;\rho _{ij})}$. Замкнутое подмногообразие ${\displaystyle \pi ^{-1}(x)\subset Y}$ называется типичным слоем гладкого расслоения в точке ${\displaystyle x\in X}$.

Примеры

• Векторное расслоение, в частности касательное расслоение
• Главное расслоение

Свойства

• Пространство расслоения ${\displaystyle Y}$ наделено координатным атласом ${\displaystyle (x^{\mu },\;y^{a})}$, где ${\displaystyle (y^{a})}$ — координаты на ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle (x^{\mu })}$ — координаты на ${\displaystyle X}$, функции перехода которых не зависят от координат ${\displaystyle (y^{a})}$.
• Для всякой точки ${\displaystyle x\in X}$ существует открытая окрестность ${\displaystyle U}$ и вложение ${\displaystyle s\colon U\to Y}$, такое что ${\displaystyle \pi \circ s=\mathrm {Id} \,(U)}$. Это отображение называется (локальным) сечением гладкого расслоения.

Вариации и обобщения

• Слоение
• Суперрасслоение
• Градуированное расслоение
• Банахово и гильбертово расслоения

Литература

• Greub W., Halperin S., Vanstone R. Connections, curvature and cohomology, vol. I—III. — New York: Academic Press, 1972—1976.
• Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.
• Сарданашвили Г. А. Современные методы теории поля. 1. Геометрия и классические поля. — М.: УРСС, 1996. — 224 с. — ISBN 5-88417-087-4..
• Sardanashvily, G., Fibre bundles, jet manifolds and Lagrangian theory. Lectures for theoreticians,arXiv: 0908.1886