Росток (математика)

Росток объекта на топологическом пространстве выражает локальные свойства объекта. В некотором смысле можно сказать, что это новый объект, который перенимает лишь локальные свойства объекта его породившего (чаще всего в роли таких объектов выступают отображения). Очевидно, что различные функции могут задавать один и тот же росток. В таком случае все локальные свойства (непрерывность, гладкость и т. п.) у таких функций совпадают и достаточно рассматривать свойства не самих функций, а лишь их ростков. Важный момент заключается в том, чтобы ввести понятие локальности, поэтому ростки рассматривают для объектов на топологическом пространстве.

Формальное определение

Пусть задана точка ${\displaystyle x}$ топологического пространства ${\displaystyle X}$ и два отображения ${\displaystyle f,\;g:X\to Y}$ в любое множество ${\displaystyle Y}$. Тогда говорят, что ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ задают один и тот же росток в ${\displaystyle x}$, если есть окрестность ${\displaystyle U}$ точки ${\displaystyle x}$, такая что ограничение ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ на ${\displaystyle U}$ совпадают. То есть,

${\displaystyle f|_{U}=g|_{U}}$

(что означает ${\displaystyle \forall x'\in U,\;f(x')=g(x')}$).

Аналогично говорят о двух подмножества ${\displaystyle S,\;T\subset X}$: они определяют один и тот же росток в ${\displaystyle x}$, если существует окрестность ${\displaystyle U}$, такая что:

${\displaystyle S\cap U=T\cap U.}$

Очевидно, что задание одинаковых ростков в точке ${\displaystyle x}$ есть отношение эквивалентности (на отображениях или множествах соответственно), и эти классы эквивалентности называются ростками (ростками отображения или ростками множества). Отношение эквивалентности обозначают обычно ${\displaystyle f\sim _{x}g}$ или ${\displaystyle S\sim _{x}T}$.

Росток данного отображения ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle x}$ обычно обозначают ${\displaystyle [f]_{x}}$. Аналогично, росток, задаваемый множеством ${\displaystyle S}$, обозначают ${\displaystyle [S]_{x}}$.

${\displaystyle [f]_{x}=\{g:X\to Y\mid g\sim _{x}f\}.}$

Росток, отображающий точку ${\displaystyle x\in X}$ в точку ${\displaystyle y\in Y}$ пишут ${\displaystyle (X,\;x)\to (Y,\;y)}$, таким образом ${\displaystyle f}$ является целым классом эквивалентности отображений, и под ${\displaystyle f}$ принято понимать любое репрезентативное отображение. Можно также отметить, что два множества эквивалентны (задают один и тот же росток множеств), если эквивалентны их характеристические функции (относительно ростков отображений):

${\displaystyle S\sim _{x}T\Longleftrightarrow \mathbf {1} _{S}\sim _{x}\mathbf {1} _{T}.}$

Литература

• Мишачев Н.М., Элиашберг Я.М. Введение в h-принцип. — М.: Московский центр непрерывного математического образования, 2004. — ISBN 5-94057-126-3.