Производная Пеано

Производная Пеано ― одно из обобщений понятия производной.

Пусть имеет место равенство

${\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+\cdots +{\frac {a_{r}}{r!}}(x-x_{0})^{r}+\gamma (x)(x-x_{0})^{r}}$

где ${\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{r}}$ ― постоянные и ${\displaystyle \gamma (x)\to 0}$ при ${\displaystyle x\to x_{0}}$ и ${\displaystyle \gamma (x_{0})=0}$. Тогда число ${\displaystyle a_{r}}$ называется обобщенной производной Пеано порядка ${\displaystyle r}$ функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$.

Обозначение: ${\displaystyle f_{(r)}(x_{0})=a_{r}}$, в частности ${\displaystyle f_{(0)}(x_{0})=f(x_{0})}$, ${\displaystyle f_{(1)}(x_{0})=f'(x_{0})}$.

Свойства

• Если существует ${\displaystyle f^{(r)}(x_{0})}$, то существует и ${\displaystyle f_{(k)}(x_{0})}$ для ${\displaystyle k\leq r}$.

• Если существует конечная обычная двусторонняя производная ${\displaystyle f^{(r)}(x_{0})}$, то ${\displaystyle f_{(r)}(x_{0})=f^{(r)}(x_{0})}$. Обратное неверно при ${\displaystyle r>1}$: для функции ${\displaystyle f(x)=x^{n}D(x)}$, где ${\displaystyle D}$ — функция Дирихле все ${\displaystyle f_{(r)}(0)=0}$ для ${\displaystyle r<n}$ тогда как ${\displaystyle f^{(r)}(0)}$ не определена для всех ${\displaystyle r>1}$.