Векторный оператор Лапласа

Ве́кторный опера́тор Лапла́са (или ве́кторный лапласиа́н) — это векторный дифференциальный оператор второго порядка, определённый над векторным полем и обозначаемый символом ${\displaystyle \Delta }$^[1], аналогичный скалярному оператору Лапласа. Векторный оператор Лапласа действует на векторное поле и имеет векторное значение, тогда как скалярный лапласиан действует на скалярное поле и имеет скалярное значение. При вычислении в декартовых координатах получаемое векторное поле эквивалентно векторному полю скалярного лапласиана, действующего на отдельные компоненты исходного вектора.

Поскольку векторный и скалярный лапласианы обозначаются одним и тем же символом, большой греческой буквой дельта, но являются разными математическими объектами, в рамках данной статьи векторный лапласиан обозначается черным цветом, а скалярный лапласиан — синим.

Определение

Векторный оператор Лапласа векторного поля ${\displaystyle \mathbf {A} }$ определяется следующим образом:

• Через оператор набла:

${\displaystyle \Delta \mathbf {A} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )}$ ^[2].

• Через градиент, дивергенцию и ротор:

${\displaystyle \Delta \mathbf {A} =\mathrm {grad} (\mathrm {div} \mathbf {A} )-\mathrm {rot} (\mathrm {rot} \mathbf {A} )}$.

В декартовых координатах векторный лапласиан векторного поля ${\displaystyle \mathbf {A} }$ можно представить в виде вектора, компонентами которого являются скалярные лапласианы компонент векторного поля ${\displaystyle \mathbf {A} }$:

${\displaystyle \Delta \mathbf {A} =\left\{{\color {blue}\Delta }A_{x},{\color {blue}\Delta }A_{y},{\color {blue}\Delta }A_{z}\right\}}$ ^[1],

где ${\displaystyle A_{x}}$, ${\displaystyle A_{y}}$, ${\displaystyle A_{z}}$ — компоненты векторного поля ${\displaystyle \mathbf {A} }$.

Выражения для векторного оператора Лапласа в других системах координат можно найти в статье «Оператор набла в различных системах координат».

Обобщение

Лапласиан любого тензорного поля ${\displaystyle \mathbf {T} }$ (скаляры и векторы являются частными случаями тензоров) определяется как дивергенция градиента тензора:

${\displaystyle \Delta \mathbf {T} =\nabla \cdot (\nabla \mathbf {T} )}$.

В случае если ${\displaystyle \mathbf {T} }$ — это скаляр (тензор нулевого порядка), оператор Лапласа принимает привычную форму.

Если ${\displaystyle \mathbf {T} }$ — это вектор (тензор первого порядка), то его градиент это ковариантная производная, которая является тензором второго порядка, а его дивергенция — это снова вектор. Формула для векторного лапласиана может быть представлена как дивергенция выражения для градиента вектора:

${\displaystyle \nabla \mathbf {T} =\left\{\nabla T_{x},\nabla T_{y},\nabla T_{z}\right\}={\begin{bmatrix}T_{xx}&T_{xy}&T_{xz}\\T_{yx}&T_{yy}&T_{yz}\\T_{zx}&T_{zy}&T_{zz}\end{bmatrix}}}$,

где ${\displaystyle T_{uv}\equiv {\frac {\partial T_{v}}{\partial u}}}$ (общий вид компоненты тензора), ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ могут принимать значения из множества ${\displaystyle \{x,y,z\}}$.

Аналогично, скалярное произведение вектора на градиент другого вектора (тензор второго порядка), значением которого является вектор, может быть рассмотрено как произведение матриц:

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \nabla \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{bmatrix}}\nabla \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} \cdot \nabla B_{x}&\mathbf {A} \cdot \nabla B_{y}&\mathbf {A} \cdot \nabla B_{z}\end{bmatrix}}}$.

Данное выражение зависит от системы координат.

Использование в физике

Примером использования векторного оператора Лапласа являются уравнения Навье — Стокса для вязкой несжимаемой жидкости^[3]:

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} \right)=\rho \mathbf {f} -\nabla p+\mu \left(\Delta \mathbf {v} \right)}$,

где слагаемое с векторным оператором Лапласа от поля скоростей ${\displaystyle \mu \left(\Delta \mathbf {v} \right)}$ представляет собой вязкость жидкости.

Литература

• Хмельник С.И. Уравнения Навье-Стокса существование и метод поиска глобального решения. — Израиль: MiC, 2010. — 106 с. — ISBN 978-0-557-48083-8.

Примечания

1. Хмельник, 2010, Приложение 1.
2. Weisstein, Eric W. Vector Laplacian (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
3. Хмельник, 2010, Глава 2.