Производная Дини

В анализе функций действительных переменных производные Дини — это одно из обобщений понятия производной.

Верхняя производная Дини непрерывной функции

${\displaystyle f:{\mathbb {R} }\rightarrow {\mathbb {R} },}$

обозначается через ${\displaystyle f'_{+}}$ и определяется как

${\displaystyle f'_{+}(t)\triangleq \varlimsup _{h\to {0+}}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}}$,

где ${\displaystyle \varlimsup }$ есть верхний частичный предел.

Нижняя производная Дини, ${\displaystyle f'_{-},}$ определяется как

${\displaystyle f'_{-}(t)\triangleq \varliminf _{h\to {0+}}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}}$,

где ${\displaystyle \varliminf }$ есть нижний частичный предел.

Если ${\displaystyle f}$ определена на векторном пространстве, тогда верхняя производная Дини в точке ${\displaystyle t}$ по направлению ${\displaystyle d}$ определяется как

${\displaystyle f'_{+}(t,d)\triangleq \varlimsup _{h\to {0+}}{\frac {f(t+hd)-f(t)}{h}}.}$

Если ${\displaystyle f}$ локально липшицева (то есть у каждой точки существует окрестность, ограничение ${\displaystyle f}$ на которую — липшицева функция), то ${\displaystyle f'_{+}}$ конечна. Если ${\displaystyle f}$ дифференцируема в точке ${\displaystyle t}$, тогда производная Дини в этой точке совпадает с обычной производной в ${\displaystyle t}$.

Примечания

• Иногда используют обозначение ${\displaystyle D^{+}f(t)}$ вместо ${\displaystyle f'_{+}(t),}$ и ${\displaystyle D_{+}f(t)}$ используется вместо ${\displaystyle f'_{-}(t).}$

• Также используют обозначения

${\displaystyle D^{-}f(t)\triangleq \varlimsup _{h\to {0-}}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}}$

и

${\displaystyle D_{-}f(t)\triangleq \varliminf _{h\to {0-}}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}}$

• Таким образом, когда используется ${\displaystyle D}$-нотация производных Дини, знаки плюс и минус обозначают левосторонний или правосторонний предел, а положение знака указывают на тип производной (верхняя или нижняя).

• На расширенной числовой прямой каждая из производных Дини всегда существует, однако они могут иногда принимать значения ${\displaystyle +\infty }$ или ${\displaystyle -\infty }$

Литература

• Royden, H.L. Real analysis (неопр.). — 2nd. — MacMillan, 1968. — ISBN 978-0-02-404150-0.