Круговой фрактал

Круговой фрактал после третьей итерации

Круговой фрактал — класс геометрических (конструктивных) фракталов (см., например,^[1][2]), построенных многократным вписыванием в окружность других окружностей меньшего радиуса. (см. рис. 1a, 1b, 1c).

Применение

Конструктивные круговые фракталы могут найти применение в качестве моделей различных природных структур в химии, биологии, технологии материалов и др. Фракталы такого типа были предложены в работе^[3][4] в качестве моделей кластеров магнитопотоковых трубок в верхних слоях солнечной конвективной зоны. Рассматривались и более сложные конструкции такого рода, например, круговые фракталы с перекрывающимися элементами, моделирующие скрученные магнитопотоковые трубки^[5], см.также^[6][7][8]. Возможно также построение мультифрактальных конструкций подобного типа для моделирования более сложных структур. В отличие от ковров Серпинского, такие фракталы строятся не из прямоугольных или треугольных, а из круговых элементов.

Первые три из потенциально бесконечной последовательности таких круговых фракталов приведены на рис. 1a, 1b, и 1c.

Рис. 1a

Рис. 1b

Рис. 1c

Для расчета хаусдорфовых размерностей (d) этих объектов можно воспользоваться известной формулой для конструктивных фракталов: ${\displaystyle d=\log(n)/\log(1/a)}$. В случае рис. 1а, значение n=3. Параметр а — отношение характерных длин соседних масштабов. В данном случае, это ${\displaystyle r_{i+1}/r_{i}}$; где ${\displaystyle r_{i}}$ — радиус большей окружности, ${\displaystyle r_{i+1}}$ — радиус окружности соседнего меньшего масштаба. Из простых геометрических соображений находим: а=0,4641. Подставляя эти значения в формулу, получаем d≈1,43. Для варианта на рис. 1b, соответственно, n=4, а=0,4142… , d≈1,57… Для варианта, изображенного на рис. 1c, имеем: n=7, a=1/3 и, размерность d≈1,77… Увеличивая число вписываемых окружностей, получаем бесконечную последовательность фрактальных объектов, с хаусдорфовыми размерностями d → 2.

Пример

В окружность радиуса R вписывают семь окружностей радиуса R/3 таким образом, чтобы они все касались, но не пересекали друг друга. В каждую из этих семи окружностей вписываются по семь окружностей R/9 и т. д.

Круговой фрактал после четвёртой итерации

Круговой фрактал после пятой итерации

Примечания

1. Морозов А. Д. Введение в теорию фракталов. — Москва-Ижевск. Институт компьютерных исследований, 2002, 160 с.
2. Божокин С. В., Паршин Д. А. Фракталы и мультифракталы. — Ижевск. НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001, 128 с.
3. Чумак О. В. Фрактальные размерности ассоциаций МФТ. — Астрономический Циркуляр, № 1546, 1990
4. Чумак О. В. Энтропии и фракталы в анализе данных. — М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2011, 164с.
5. Чумак О. В. Самоподобные фракталы с перекрывающимися элементами как модель фотосферных магнитных структур. — Астрономический Циркуляр, № 1546, 1990
6. Chumak O.V., Zhang H. — Size-flux relation in active regions. — Chinese Journal Astron. and Astroph., Vol. 3, No. 2, 2003, pp. 175—182
7. Чумак О. В. Фрактальные размерности и соотношения «площадь — поток» для локальных магнитных полей на Солнце. — Астрономический Циркуляр № 1545, 1990.
8. Chumak O. — Self-similar and self-affine structures in observational data on solar activity — Asrton&Astroph. Trans. V. 24, № 2, 2005, pp. 93—99

Литература

• Чумак О. В. Энтропии и фракталы в анализе данных. — РХД, 2011. — 164 с. — ISBN 978-5-93972-852-2. (недоступная ссылка)