Вектор Лапласа — Рунге — Ленца

В этой статье векторы выделены жирным шрифтом, а их абсолютные величины — курсивом, например, ${\displaystyle |\mathbf {A} |=A}$.

Ве́ктор Лапла́са — Ру́нге — Ле́нца (вектор Лапласа, вектор Рунге — Ленца и вектор Ленца) — вектор, который используется для описания формы и ориентации орбиты, по которой одно небесное тело обращается вокруг другого (например, орбиты, по которой планета обращается вокруг звезды). В случае с двумя телами, взаимодействие которых описывается законом всемирного тяготения Ньютона, вектор Лапласа — Рунге — Ленца представляет собой интеграл движения, то есть его направление и величина постоянны независимо от точки орбиты, в которой они вычисляются^[1]; говорят, что вектор Лапласа — Рунге — Ленца сохраняется при гравитационном взаимодействии двух тел. Это утверждение можно обобщить на любую задачу с двумя телами, взаимодействующими посредством центральной силы, которая изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния между ними. Такая задача называется Кеплеровой задачей^[2].

Например, такой потенциал возникает при рассмотрении классических орбит (без учёта квантования) в задаче о движении отрицательно заряженного электрона в электрическом поле положительно заряженного ядра. Если вектор Лапласа — Рунге — Ленца задан, то форма относительного движения тел может быть получена из простых геометрических соображений, с использованием законов сохранения этого вектора и энергии.

Согласно принципу соответствия, у вектора Лапласа — Рунге — Ленца имеется квантовый аналог, который был использован в первом выводе спектра атома водорода^[3] ещё до открытия уравнения Шрёдингера.

В задаче Кеплера существует особенность: конец вектора импульса p всегда движется по окружности^[4][5][6]. Из-за расположения этих кругов, для заданной полной энергии E, задача Кеплера математически эквивалентна задаче о частице, свободно перемещающейся в четырёхмерной сфере ${\displaystyle S_{3}}$^[7]. Согласно этой математической аналогии, сохраняющийся вектор Лапласа — Рунге — Ленца соответствует дополнительным компонентам углового момента в четырёхмерном пространстве^[8].

Вектор Лапласа — Рунге — Ленца также известен как вектор Лапласа, вектор Рунге — Ленца и вектор Ленца, хотя ни один из этих учёных не был его первооткрывателем. Вектор Лапласа — Рунге — Ленца переоткрывался несколько раз^[9][10]. Он также эквивалентен безразмерному вектору эксцентриситета в небесной механике^[11]. Для него также нет никакого общепринятого обозначения, хотя обычно используется символ A. Для различных обобщений вектора Лапласа — Рунге — Ленца, которые будут определены ниже, используется символ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$.

Контекст

Для одиночной частицы, движущейся под воздействием любой консервативной центральной силы, существуют по крайней мере четыре интеграла движения (сохраняющиеся величины): полная энергия E и три компоненты вектора углового момента L. Орбита частицы лежит в плоскости, определяемой начальным импульсом частицы p или скоростью v и её радиус-вектором r (рис. 1). Эта плоскость перпендикулярна постоянному вектору L, что можно выразить математически с помощью скалярного произведения ${\displaystyle \mathbf {r} \cdot \mathbf {L} =0}$^[12][13].

Как указано ниже, вектор Лапласа — Рунге — Ленца A всегда находится в плоскости движения, то есть равенство ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {L} =0}$ выполняется для любой центральной силы. Он также является постоянным только для силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния^[2]. Если центральная сила приближённо зависит от обратного квадрата расстояния, вектор A является почти постоянным по длине, но медленно вращается. Для большинства центральных сил этот вектор A не постоянен и изменяет как длину, так и направление. Обобщённый сохраняющийся вектор Лапласа — Рунге — Ленца ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ может быть определён для всех центральных сил, но этот вектор представляет собой сложную функцию положения и обычно не выражается аналитически в элементарных или специальных функциях^[14][15].

История

Вектор Лапласа — Рунге — Ленца A является сохраняющейся величиной в задаче Кеплера и полезен при описании астрономических орбит, например движения планеты вокруг Солнца. Однако он никогда не был широко известен среди физиков, возможно, потому что он менее интуитивно понятен, чем импульс и угловой момент. Вектор Лапласа — Рунге — Ленца независимо открывали несколько раз за прошедшие три столетия^[9]. Якоб Герман был первым, кто показал, что вектор A сохраняется для специального случая центральной силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния^[16][17], и нашёл его связь с эксцентриситетом эллиптической орбиты. Работа Германа была обобщена до её современной формы Иоганном Бернулли в 1710 году^[18]. В свою очередь, Пьер-Симон Лаплас в конце XVIII столетия заново открыл сохранение вектора ${\displaystyle \mathbf {A} }$, доказав это аналитически, а не геометрически, как его предшественники^[19].

В середине XIX века Уильям Гамильтон получил эквивалент вектора эксцентриситета, определённый ниже^[11], и использовал его, чтобы показать, что конец вектора импульса p движется по кругу под действием центральной силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния (рис. 3)^[4]. В начале XX столетия Уиллард Гиббс нашёл тот же самый вектор с помощью векторного анализа^[20]. Вывод Гиббса использовал Карл Рунге в популярном немецком учебнике по векторам в качестве примера^[21], на который ссылался Вильгельм Ленц в своей статье о квантовомеханическом рассмотрении атома водорода^[22].

В 1926 году этот вектор применил Вольфганг Паули для вывода спектра атома водорода, используя современную матричную квантовую механику, а не уравнение Шрёдингера^[3]. После публикации Паули вектор стал известен как вектор Рунге — Ленца^[9].

Математическое определение

Рис. 1. Вектор Лапласа — Рунге — Ленца A (показанный красным цветом) в четырёх точках (обозначенных 1, 2, 3 и 4) на эллиптической орбите связанной точечной частицы, движущейся под действием центральной силы, величина которой обратно пропорциональна квадрату расстояния. Маленький чёрный круг обозначает центр притяжения. От него начинаются радиус-векторы (выделены чёрным цветом), направленные в точки 1, 2, 3 и 4. Вектор углового момента L направлен перпендикулярно орбите. Компланарные векторы p × L, (mk/r)r и A изображены синим, зелёным и красным цветами, соответственно; эти переменные определены ниже. Вектор A является постоянным по направлению и величине

Для одиночной частицы, движущейся под воздействием центральной силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния и описываемой уравнением ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )={\frac {-k}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }$, вектор Лапласа — Рунге — Ленца A определён математически формулой^[2]

${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {p} \times \mathbf {L} -mk\mathbf {\hat {r}} \,,}$

где m — масса точечной частицы, движущейся под воздействием центральной силы, p — вектор импульса, L = r × p — вектор углового момента, k — параметр, описывающий величину центральной силы, ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$ — единичный вектор, то есть ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} ={\frac {\mathbf {r} }{r}}}$, где r — радиус-вектор положения частицы, и r — его длина.

Поскольку предполагается, что сила консервативная, то полная энергия системы E сохраняется

${\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {k}{r}}={\frac {1}{2}}mv^{2}-{\frac {k}{r}}\,.}$

Из центральности силы следует, что вектор углового момента L также сохраняется и определяет плоскость, в которой движется частица. Вектор Лапласа — Рунге — Ленца A перпендикулярен вектору углового момента L и, таким образом, находится в плоскости орбиты. Уравнение A ⋅ L = 0 верно, потому что векторы p × L и r перпендикулярны L.

Это определение вектора Лапласа — Рунге — Ленца A применимо для одиночной точечной частицы с массой m, движущейся в стационарном (не зависящем от времени) потенциале. Кроме того, это определение может быть применено к задаче двух тел, такой как задача Кеплера, если заменить m на приведённую массу этих двух тел и r на вектор между ними.

Круговой годограф импульса

Рис. 2. Конец вектора импульса p (показанный синим цветом) двигается по кругу, когда частица совершает движение по эллипсу. Четыре помеченные точки соответствуют точкам на рис. 1. Центр круга находится на оси y в точке A/L (показан пурпурным), с радиусом mk/L (показан зелёным). Угол η определяет эксцентриситет e эллиптической орбиты (cosη = e). Из теоремы о вписанном угле для круга следует, что η является также углом между любой точкой на окружности и двумя точками пересечения окружности с осью p_x, p_x = ±p₀.

Сохранение вектора Лапласа — Рунге — Ленца A и вектора углового момента L используется в доказательстве того, что конец вектора импульса ${\displaystyle \mathbf {p} }$ движется по окружности под действием центральной силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния^[4][9]. Вычисляя векторное произведение A и L, получается уравнение для p

${\displaystyle L^{2}\mathbf {p} =\mathbf {L} \times \mathbf {A} -mk{\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {L} \,.}$

Направляя вектор L вдоль оси z, а главную полуось — вдоль оси x, получаем уравнение

${\displaystyle p_{x}^{2}+(p_{y}-A/L)^{2}=(mk/L)^{2}\,.}$

Другими словами, конец вектора импульса p движется по окружности радиуса mk/L, центр которой расположен в точке с координатами (0, A/L). Эксцентриситет e равен косинусу угла η, показанного на рис. 2. Для краткости вводится переменная ${\displaystyle p_{0}={\sqrt {2m|E|}}}$. Круговой годограф полезен для описания симметрии задачи Кеплера.

Интегралы движения и суперинтегрируемость

Семь скалярных величин — энергия E и компоненты векторов Лапласа — Рунге — Ленца A и момента импульса L — связаны двумя соотношениями. Для векторов выполняется условие ортогональности A ⋅ L = 0, а энергия входит в выражение для квадрата длины вектора Лапласа — Рунге — Ленца, полученного выше A² = m²k² + 2mEL². Тогда существует пять независимых сохраняющихся величин, или интегралов движения. Это совместимо с шестью начальными условиями (начальное положение частицы и её скорость являются векторами с тремя компонентами), которые определяют орбиту частицы, так как начальное время не определено интегралами движения. Поскольку величину A (и эксцентриситет орбиты e) можно определить из полного углового момента L и энергии E, утверждается, что независимо сохраняется только направление A. Кроме того, вектор A должен быть перпендикулярным L — это приводит к одной дополнительной сохраняющейся величине.

Механическая система с d степенями свободы может обладать максимум 2d-1 интегралами движения, поскольку имеется 2d начальных условий, а начальное время не может быть определено из интегралов движения. Система с более чем d интегралами движения называется суперинтегрируемой, а система с 2d-1 интегралами называется максимально суперинтегрируемой^[23]. Поскольку решение уравнения Гамильтона — Якоби в одной системе координат может привести только к d интегралам движения, то переменные должны разделяться для суперинтегрируемых систем в больше чем одной системе координат^[24]. Задача Кеплера максимально суперинтегрируема, так как она имеет три степени свободы (d = 3) и пять независимых интегралов движения; переменные в уравнении Гамильтона — Якоби разделяются в сферических координатах и параболических координатах^[25], как описано ниже. Максимально суперинтегрируемые системы могут быть квантованы с использованием только коммутационных соотношений, как показано ниже^[26].

Уравнение Гамильтона — Якоби в параболических координатах

Постоянство вектора Лапласа — Рунге — Ленца можно вывести, используя уравнение Гамильтона — Якоби в параболических координатах (ξ,η), которые определяются следующим образом:

${\displaystyle \xi =r+x\,,}$

${\displaystyle \eta =r-x\,,}$

где ${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ — радиус в плоскости орбиты. Обратное преобразование этих координат запишется в виде:

${\displaystyle x={\frac {1}{2}}(\xi -\eta )\,,}$

${\displaystyle y={\sqrt {\xi \eta }}\,.}$

Разделение переменных в уравнении Гамильтона — Якоби в этих координатах даёт два эквивалентных уравнения^[25][27]:

${\displaystyle 2\xi p_{\xi }^{2}-mk-mE\xi =-\beta \,,}$

${\displaystyle 2\eta p_{\eta }^{2}-mk-mE\eta =\beta \,,}$

где β — интеграл движения. Посредством вычитания этих уравнений и выражения в терминах декартовых координат импульса p_x и p_y можно показать, что β эквивалентен вектору Лапласа — Рунге — Ленца

${\displaystyle \beta =p_{y}(xp_{y}-yp_{x})-mk{\frac {x}{r}}=A_{x}\,.}$

Этот подход Гамильтона — Якоби может быть использован для вывода сохраняющегося обобщённого вектора Лапласа — Рунге — Ленца ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ в присутствии электрического поля E^[25][28]

${\displaystyle {\mathcal {A}}=\mathbf {A} +{\frac {mq}{2}}\left[(\mathbf {r} \times \mathbf {E} )\times \mathbf {r} \right]\,,}$

где q — заряд обращающейся частицы.

Альтернативная формулировка

В отличие от импульса p и углового момента L, для вектора Лапласа — Рунге — Ленца нет общепринятого определения. В научной литературе используются несколько различных множителей и символов. Самое общее определение даётся выше, но другое определение возникает после деления на постоянную mk, чтобы получить безразмерный сохраняющийся вектор эксцентриситета

${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {1}{mk}}(\mathbf {p} \times \mathbf {L} )-\mathbf {\hat {r}} ={\frac {m}{k}}(\mathbf {v} \times \mathbf {r} \times \mathbf {v} )-\mathbf {\hat {r}} \,,}$

где v — вектор скорости. Направление этого масштабированного вектора e совпадает с направлением A, и его амплитуда равна эксцентриситету орбиты. Мы получим другие определения, если поделить A на m:

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {v} \times \mathbf {L} -k\mathbf {\hat {r}} }$

или на p₀

${\displaystyle \mathbf {D} ={\frac {\mathbf {A} }{p_{0}}}={\frac {1}{\sqrt {2m|E|}}}\{\mathbf {p} \times \mathbf {L} -mk\mathbf {\hat {r}} \}\,,}$

который имеет ту же размерность, что и угловой момент (вектор L). В редких случаях знак вектора Лапласа — Рунге — Ленца может быть изменён на противоположный. Другие общие символы для вектора Лапласа — Рунге — Ленца включают a, R, F, J и V. Однако выбор множителя и символа для вектора Лапласа — Рунге — Ленца не влияет на его сохранение.

Рис. 3. Вектор углового момента L, вектор Лапласа — Рунге — Ленца A и вектор Гамильтона, бинормаль B, являются взаимно перпендикулярными; A и B указывают соответственно на большую и на малую полуоси эллиптической орбиты в задаче Кеплера

Альтернативный сохраняющийся вектор, бинормаль — вектор B был изучен Уильямом Гамильтоном^[11]

${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {p} -\left({\frac {mk}{L^{2}r}}\right)(\mathbf {L} \times \mathbf {r} )\,,}$

который сохраняется и направлен вдоль малой полуоси эллипса. Вектор Лапласа — Рунге — Ленца ${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {B} \times \mathbf {L} }$ является векторным произведением B и L (рис. 3). Вектор B обозначен как бинормаль, так как он перпендикулярен как A, так и L. Подобно вектору Лапласа — Рунге — Ленца, вектор бинормали можно определить с различными множителями.

Два сохраняющихся вектора A и B можно объединить в сохраняющийся двухэлементный тензор

${\displaystyle \mathbf {W} =\alpha \mathbf {A} \otimes \mathbf {A} +\beta \mathbf {B} \otimes \mathbf {B} \,,}$

где ${\displaystyle \otimes }$ обозначает тензорное произведение, а α и β — произвольные множители^[14]. Записанное в компонентной записи, это уравнение читается так

${\displaystyle W_{ij}=\alpha A_{i}A_{j}+\beta B_{i}B_{j}\,.}$

Векторы A и B ортогональны друг другу, и их можно представить как главные оси сохраняющегося тензора W, то есть как его собственные вектора. W перпендикулярен L

${\displaystyle \mathbf {L} \cdot \mathbf {W} =\alpha (\mathbf {L} \cdot \mathbf {A} )\mathbf {A} +\beta (\mathbf {L} \cdot \mathbf {B} )\mathbf {B} =0\,,}$

поскольку A и B перпендикулярны, то L ⋅ A = L ⋅ B = 0.

Вывод орбит Кеплера

Рис. 4. Упрощённая версия рис. 1. Определяется угол θ между A и r в одной точке орбиты.

Зная вектор Лапласа — Рунге — Ленца A, форму и ориентацию орбиты в задаче Кеплера можно определить следующим образом^[2]. Рассмотрим скалярное произведение векторов A и r (положение планеты)

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {r} =Ar\cos \theta =\mathbf {r} \cdot (\mathbf {p} \times \mathbf {L} )-mkr\,,}$

где θ — угол между векторами r и A (рис. 4). Поменяем порядок множителей в смешанном произведении ${\displaystyle \mathbf {r} \cdot (\mathbf {p} \times \mathbf {L} )=\mathbf {L} \cdot (\mathbf {r} \times \mathbf {p} )=\mathbf {L} \cdot \mathbf {L} =L^{2}}$, и при помощи несложных преобразований получим определение для конического сечения

${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {mk}{L^{2}}}\left(1+{\frac {A}{mk}}\cos \theta \right)}$

с эксцентриситетом e, заданным по формуле^[2]

${\displaystyle e={\frac {A}{mk}}={\frac {|\mathbf {A} |}{mk}}\,.}$

Приходим к выражению квадрата модуля вектора A в виде^[2]

${\displaystyle A^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}\,,}$

которое можно переписать, используя эксцентриситет орбиты^[2]

${\displaystyle e^{2}-1={\frac {2L^{2}}{mk^{2}}}E\,.}$

Таким образом, если энергия отрицательна, что соответствует связанным орбитам, эксцентриситет меньше, чем единица, и орбита имеет форму эллипса. Наоборот, если энергия положительна (несвязанные орбиты, также называемые орбитами рассеяния), эксцентриситет больше, чем единица, и орбита — гипербола. Наконец, если энергия точно равна нулю, эксцентриситет — единица, и орбита — парабола. Во всех случаях вектор A направлен вдоль оси симметрии конического сечения и указывает на точку самого близкого положения точечной частицы от начала координат (перицентр)^[2].

Сохранение под действием силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния

Сила F, действующая на частицу, предполагается центральной. Поэтому

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=f(r){\frac {\mathbf {r} }{r}}=f(r)\mathbf {\hat {r}} }$

для некоторой функции f(r) радиуса r. Поскольку угловой момент ${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$ сохраняется под действием центральных сил, то ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {L} =0}$ и

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {p} \times \mathbf {L} )={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\times \mathbf {L} =f(r)\mathbf {\hat {r}} \times \left(\mathbf {r} \times m{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)=f(r){\frac {m}{r}}\left[\mathbf {r} \left(\mathbf {r} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)-r^{2}{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right]\,,}$

где импульс записан в виде ${\displaystyle \mathbf {p} =m{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}}$, и двойное векторное произведение упростилось с помощью формулы Лагранжа

${\displaystyle \mathbf {r} \times \left(\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)=\mathbf {r} \left(\mathbf {r} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)-r^{2}{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\,.}$

Тождество

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} )=2\mathbf {r} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\frac {d}{dt}}(r^{2})=2r{\frac {dr}{dt}}}$

приводит к уравнению

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {p} \times \mathbf {L} )=-mf(r)r^{2}\left[{\frac {1}{r}}{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}-{\frac {\mathbf {r} }{r^{2}}}{\frac {dr}{dt}}\right]=-mf(r)r^{2}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\mathbf {r} }{r}}\right)\,.}$

Для специального случая центральной силы, зависящей обратно пропорциональной квадрату расстояния ${\displaystyle f(r)={\frac {-k}{r^{2}}}}$, последнее выражение равно

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {p} \times \mathbf {L} )=mk{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\mathbf {r} }{r}}\right)={\frac {d}{dt}}(mk\mathbf {\hat {r}} )\,.}$

Таким образом, A сохраняется в этом случае

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {A} ={\frac {d}{dt}}(\mathbf {p} \times \mathbf {L} )-{\frac {d}{dt}}(mk\mathbf {\hat {r}} )=0\,.}$

Как показано ниже, вектор Лапласа — Рунге — Ленца A является частным случаем обобщённого сохраняющегося вектора ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, который может быть определён для любой центральной силы^[14][15]. Однако большинство центральных сил не формируют замкнутых орбит (см. теорема Бертрана), аналогичный вектор ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ редко имеет простое определение и в общем случае представляет собой многозначную функцию угла θ между r и ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$.

Изменение под действием возмущающих центральных сил

Рис. 5. Медленно прецессирующая эллиптическая орбита, с эксцентриситетом e = 0,9. Такая прецессия возникает в задаче Кеплера, если притягивающая центральная сила немного отличается от закона тяготения Ньютона. Скорость прецессии можно вычислить, используя приведённые в параграфе формулы.

Во многих практических задачах, таких как планетарное движение, взаимодействие между двумя телами лишь приблизительно обратно пропорционально квадрату расстояния. В таких случаях вектор Лапласа — Рунге — Ленца A не постоянен. Однако, если возмущающий потенциал h(r) зависит только от расстояния, то полная энергия E и вектор углового момента L сохраняются. Поэтому траектория движения всё ещё находится в перпендикулярной к L плоскости, и величина A сохраняется, согласно уравнению A² = m²k² + 2mEL². Следовательно, направление вектора A медленно вращается по орбите в плоскости. Используя каноническую теорию возмущений и координаты действие-угол, можно прямо показать^[2], что A вращается со скоростью

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial L}}\langle h(r)\rangle ={\frac {\partial }{\partial L}}\left\{{\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}h(r)\,dt\right\}={\frac {\partial }{\partial L}}\left\{{\frac {m}{L^{2}}}\int \limits _{0}^{2\pi }r^{2}h(r)\,d\theta \right\}\,,}$

где T — период орбитального движения и равенство ${\displaystyle L\,dt=mr^{2}\,d\theta }$ использовалось, чтобы преобразовать интеграл по времени в интеграл по углу (рис. 5). Например, принимая во внимание эффекты общей теории относительности, приходим к добавке, которая в отличие от обычной гравитационной силы Ньютона зависит обратно пропорционально кубу расстояния^[29]:

${\displaystyle h(r)={\frac {kL^{2}}{m^{2}c^{2}}}\left({\frac {1}{r^{3}}}\right)\,.}$

Подставив эту функцию в интеграл и использовав уравнение

${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {mk}{L^{2}}}\left(1+{\frac {A}{mk}}\cos \theta \right)\,,}$

чтобы выразить r как функцию θ, вызванная этим возмущением скорость прецессии перицентра запишется в виде^[29]

${\displaystyle {\frac {6\pi k^{2}}{TL^{2}c^{2}}}\,.}$

Она близка по значению к величине прецессии для Меркурия, необъяснённой ньютоновской теорией гравитации^[30]. Это выражение используется для оценки прецессии, связанной с поправками общей теории относительности для двойных пульсаров^[31]. Это согласие с экспериментом является сильным аргументом в пользу общей теории относительности^[32][33].

Теория групп

Теорема Нётер

Теорема Нётер утверждает, что инфинитезимальная вариация обобщённых координат физической системы

${\displaystyle \delta q_{i}=\varepsilon g_{i}(\mathbf {q} ,\;\mathbf {\dot {q}} ,\;t)}$

вызывает изменение функции Лагранжа в первом порядке на величину полной производной по времени

${\displaystyle \delta L=\varepsilon {\frac {d}{dt}}G(\mathbf {q} ,\;t)\,,}$

что соответствует сохранению величины

${\displaystyle J=-G+\sum _{i}g_{i}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)\,.}$

Эта компонента вектора Лапласа — Рунге — Ленца A_s соответствует вариации координат^[34]

${\displaystyle \delta _{s}x_{i}={\frac {\varepsilon }{2}}\left[2p_{i}x_{s}-x_{i}p_{s}-\delta _{is}\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} \right)\right]\,,}$

где i принимает значения 1, 2 и 3, а x_i и ${\displaystyle {\dot {x}}_{i}}$ — i-е компоненты векторов положения r и скорости ${\displaystyle \mathbf {\dot {r}} }$, соответственно. Функция Лагранжа данной системы

${\displaystyle L={\frac {m{\dot {r}}^{2}}{2}}+{\frac {k}{r}}\,.}$

Получающееся изменение в первом порядке малости для функции Лагранжа запишется как

${\displaystyle \delta L={\frac {1}{2}}\varepsilon mk{\frac {d}{dt}}\left({\frac {x_{s}}{r}}\right)\,.}$

Это приводит к сохранению компоненты A_s

${\displaystyle A_{s}=\left[p^{2}x_{s}-p_{s}\ \left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} \right)\right]-mk\left({\frac {x_{s}}{r}}\right)=\left[\mathbf {p} \times \left(\mathbf {r} \times \mathbf {p} \right)\right]_{s}-mk\left({\frac {x_{s}}{r}}\right)\,.}$

Преобразование Ли

Рис. 6. Преобразование Ли, из которого выводится сохранение вектора Лапласа — Рунге — Ленца A. Когда масштабируемый параметр ${\displaystyle \lambda }$ изменяется, энергия и угловой момент тоже меняются, но эксцентриситет e и вектор A не изменяются.

Существует другой метод вывода сохранения вектора Лапласа — Рунге — Ленца, использующий вариацию координат без привлечения скоростей^[35]. Масштабирование координат r и времени t с разной степенью параметра λ (рис. 6)

${\displaystyle t\to \lambda ^{3}t,\;\mathbf {r} \to \lambda ^{2}\mathbf {r} ,\;\mathbf {p} \to {\frac {1}{\lambda }}\mathbf {p} }$

изменяет полный угловой момент L и энергию E:

${\displaystyle L\to \lambda L,\;E\to {\frac {1}{\lambda ^{2}}}E}$

— но сохраняет произведение EL². Отсюда следует, что эксцентриситет e и величина A сохраняются в уже упомянутом ранее уравнении

${\displaystyle A^{2}=m^{2}k^{2}e^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}.}$

Направление вектора A также сохраняется, поскольку полуоси не изменяются при масштабировании. Это преобразование оставляет верным третий закон Кеплера, то есть полуось a и период T входят в состав сохрагяюзейся величины T²/a³.

Скобки Пуассона

Для трёх компонент L_i вектора углового момента L можно определить скобки Пуассона^[2]

${\displaystyle [L_{i},\;L_{j}]=\sum _{s=1}^{3}\varepsilon _{ijs}L_{s}\,,}$

где индекс i пробегает значения 1, 2, 3 и ${\displaystyle \varepsilon _{ijs}}$ — абсолютно антисимметричный тензор, то есть символ Леви-Чивита (третий индекс суммирования s, чтобы не путать с силовым параметром k, определённым выше). В качестве скобок Пуассона используются квадратные скобки (а не фигурные), как и в литературе и, в том числе, чтобы интерпретировать их как квантовомеханические коммутационные соотношения в следующем разделе.

Как показано выше, изменённый вектор Лапласа — Рунге — Ленца D можно определить с той же размерностью, что и угловой момент, разделив A на p₀. Скобка Пуассона D с вектором углового момента L запишется в похожем виде

${\displaystyle [D_{i},\;L_{j}]=\sum _{s=1}^{3}\varepsilon _{ijs}D_{s}\,.}$

Скобка Пуассона D с D зависит от знака E, то есть когда полная энергия E отрицательна (эллиптические орбиты под действием центральной силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния) или положительная (гиперболические орбиты). Для отрицательных энергий скобки Пуассона примут вид

${\displaystyle [D_{i},\;D_{j}]=-\sum _{s=1}^{3}\varepsilon _{ijs}L_{s}\,.}$

В то время как для положительных энергий скобки Пуассона имеют противоположный знак

${\displaystyle [D_{i},\;D_{j}]=\sum _{s=1}^{3}\varepsilon _{ijs}L_{s}\,.}$

Инварианты Казимира для отрицательных энергий определяются посредством следующих соотношений:

${\displaystyle C_{1}=\mathbf {D} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {L} \cdot \mathbf {L} ={\frac {mk^{2}}{2|E|}}\,,}$

${\displaystyle C_{2}=\mathbf {D} \cdot \mathbf {L} =0}$

и мы имеем нулевые скобки Пуассона для всех компонент D и L

${\displaystyle [C_{1},\;L_{i}]=[C_{1},\;D_{i}]=[C_{2},\;L_{i}]=[C_{2},\;D_{i}]=0\,.}$

Величина C₂ равна нулю, из-за ортогональности векторов. Однако другой инвариант C₁ нетривиален и зависит только от m, k и E. Этот инвариант можно использовать для вывода спектра атома водорода, используя только квантовомеханическое каноническое коммутационное соотношение, вместо более сложного уравнения Шрёдингера.

Законы сохранения и симметрия

Вариация координаты приводит к сохранению длины вектора Лапласа — Рунге — Ленца (см. теорема Нётер). Это сохранение можно рассматривать как некоторую симметрию системы. В классической механике, симметрии — непрерывные операции, которые отображают одну орбиту на другую, не изменяя энергию системы; в квантовой механике, симметрии — непрерывные операции, которые смешивают атомные орбитали, не изменяя полную энергию. Например, наличие центральной силы приводит к сохранению углового момента L. В физике обычно встречаются консервативные центральные силы, обладающие симметрией группы вращения SO(3). Классически, полное вращение системы не затрагивает энергию орбиты; квантовомеханически, вращения смешивают сферические функции с тем же самым квантовым числом l (вырожденные состояния), не изменяя энергию.

Рис. 7. Семейство кругов годографа импульса для заданной энергии l. Все круги проходят через две точки ${\displaystyle \pm p_{0}=\pm {\sqrt {2m|E|}}}$ на оси p_x (сравните с рис. 3). Это семейство годографов соответствует семейству окружностей Аполлония, а σ — изоповерхностям биполярных координат.

Симметрия повышается для центральной силы, обратной квадрату расстояния. Специфическая симметрия проблемы Кеплера приводит к сохранению как вектора углового момента L, так и вектора Лапласа — Рунге — Ленца A (как определено выше) и в квантовой механике гарантирует, что уровни энергии атома водорода не зависят от квантовых чисел углового момента l и m. Симметрия является более тонкой, потому что операция симметрии должна осуществляться в пространстве большей размерности; такие симметрии часто называют скрытыми симметриями^[35]. С точки зрения классической механики более высокая симметрия задачи Кеплера учитывает непрерывные изменения орбит, которые сохраняют энергию, но не угловой момент. Другими словами, орбиты с одинаковой энергией, но различными угловыми моментами (эксцентриситетом) могут быть преобразованы непрерывно друг в друга. Квантовомеханически это соответствует смешиванию орбиталей, которые отличаются квантовыми числами l и m, например, атомные орбитали s типа (l = 0) и p типа (l = 1). Такое смешивание нельзя получить обычными трёхмерными трансляциями или вращениями, но оно эквивалентно вращению в пространстве с более высоким измерением.

Связанная система с отрицательной полной энергией обладает симметрией SO(4), которая сохраняет длину четырёхмерных векторов

${\displaystyle |\mathbf {e} |^{2}=e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+e_{3}^{2}+e_{4}^{2}\,.}$

В 1935 году Владимир Фок показал, что квантовомеханическая проблема Кеплера эквивалентна проблеме свободной частицы, ограниченной четырёхмерной гиперсферой^[7]. В частности, Фок показал, что волновая функция уравнения Шрёдингера в пространстве импульсов для проблемы Кеплера представляет собой четырёхмерное обобщение стереографической проекции сферических функций из 3-сферы в трёхмерное пространство. Вращение гиперсферы и перепроектирование приводят к непрерывному преобразованию эллиптических орбит, не изменяющему энергию; квантовомеханически это соответствует смешиванию всех орбиталей с одинаковым главным квантовым числом n. Валентин Баргман отметил впоследствии, что скобки Пуассона для вектора углового момента L и скалированного вектора Лапласа — Рунге — Ленца D формируют алгебру Ли для группы SO(4)^[8]. Эти шесть величин D и L соответствуют шести сохраняющимся угловым моментам в четырёх измерениях, связанным с шестью возможными простыми вращениями в этом пространстве, поскольку существует шесть способов выбрать две оси из четырёх. Этот вывод не подразумевает, что наша Вселенная — четырёхмерная гиперсфера. Эта специфическая физическая задача (проблема двух тел для центральной силы, зависящей обратно квадрату расстояния) математически эквивалентна движению свободной частице по четырёхмерной гиперсфере.

Рассеянная система с положительной полной энергией обладает симметрией SO(3,1), которая сохраняет длину 4-вектора в пространстве с метрикой Минковского

${\displaystyle ds^{2}=e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+e_{3}^{2}-e_{4}^{2}\,.}$

Фок^[7] и Баргман^[8] рассмотрели как отрицательные, так и положительные энергии. Они также были рассмотрены энциклопедически Бендером и Ициксоном^[36][37]. Недавнее исследование Ефимова С. П. показало, что результат В. Фока переносится из искривлённого импульсного пространства в четырёхмерное координатное пространство^[38]. При этом переход от четырёхмерных сферических функций в физическое трёхмерное пространство возникает просто при замене четвёртой «лишней» координаты на мнимый радиус-вектор ${\displaystyle \imath r}$. Найденное координатное пространство оказывается в теории «ближе», чем искривлённое пространство Фока.

Симметрия вращений в четырёхмерном пространстве

Рис. 8. Годограф импульса на рис. 7 соответствует стереографической проекции больших кругов из четырёхмерной η сферы единичного радиуса. Все большие круги пересекают η_x ось, которая направлена перпендикулярно странице. Проекция из северного полюса (единичный вектор w) к (η_x - η_y) плоскости, как показано для пурпурного годографа пунктирной чёрной линией. Большой круг на широте α соответствует эксцентриситету e = sinα). Цвета больших кругов, показанных здесь, соответствуют цветам их годографов на рис. 7.

Связь между проблемой Кеплера и вращениями в четырёхмерном пространстве SO(4) можно достаточно просто визуализировать^[36][39][40]. Пусть в четырёхмерном пространстве заданы декартовы координаты, которые обозначены ${\displaystyle (w,\;x,\;y,\;z)}$, где ${\displaystyle (x,\;y,\;z)}$ представляют декартовы координаты обычного положения трёхмерного вектора ${\displaystyle \mathbf {r} }$. Трёхмерный вектор импульса ${\displaystyle \mathbf {p} }$ связан с четырёхмерным вектором ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}$ на четырёхмерной единичной сфере посредством

${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}={\frac {p^{2}-p_{0}^{2}}{p^{2}+p_{0}^{2}}}\mathbf {\hat {w}} +{\frac {2p_{0}}{p^{2}+p_{0}^{2}}}\mathbf {p} ={\frac {mk-rpp_{0}}{mk}}\mathbf {\hat {w}} +{\frac {rp_{0}}{mk}}\mathbf {p} \,,}$

где ${\displaystyle \mathbf {\hat {w}} }$ — единичный вектор вдоль новой оси w. Поскольку ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}$ имеет только три независимые компоненты, то этот вектор можно обратить, получив выражение для p. Например, для компоненты x

${\displaystyle p_{x}=p_{0}{\frac {\eta _{x}}{1-\eta _{w}}}}$

и аналогично для p_y и p_z. Другими словами, трёхмерный вектор p является стереографической проекцией четырёхмерного вектора ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}$, умноженного на p₀ (рис. 8).

Без потери общности, можно устранить нормальную вращательную симметрию, выбирая декартовы координаты, где ось z направлена вдоль вектора углового момента L, и годограф импульса расположен как показано на рис. 7, с центрами кругов на оси y. Так как движение происходит в плоскости, а p и L ортогональны, p_z = η_z = 0, и внимание можно сосредоточить на трёхмерном векторе ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}=(\eta _{w},\;\eta _{x},\;\eta _{y})}$. Семейство окружностей Аполлония годографов импульса (рис. 7) соответствует множеству больших кругов на трёхмерной сфере ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}$, все из которых пересекают ось η_x в этих двух фокусах η_x = ±1, соответствующих фокусам годографа импульса при p_x = ±p₀. Большие круги связаны простым вращением вокруг оси η_x (рис. 8). Эта вращательная симметрия преобразует все орбиты с той же самой энергией друг в друга. Однако, такое вращение ортогонально к обычным трёхмерным вращениям, так как оно преобразует четвёртое измерение η_w. Эта более высокая симметрия характерна для задачи Кеплера и соответствует сохранению вектора Лапласа — Рунге — Ленца.

Изящное решение для проблемы Кеплера с использованием переменных угол-действие можно получить, избавляясь от избыточной четырёхмерной координаты ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}$ и используя эллиптические цилиндрические координаты ${\displaystyle (\alpha ,\;\beta ,\;\varphi )}$^[41]

${\displaystyle \eta _{w}=\mathrm {cn} \,\alpha \,\mathrm {cn} \,\beta \,,}$

${\displaystyle \eta _{x}=\mathrm {sn} \,\alpha \,\mathrm {dn} \,\beta \cos \varphi \,,}$

${\displaystyle \eta _{y}=\mathrm {sn} \,\alpha \,\mathrm {dn} \,\beta \sin \varphi \,,}$

${\displaystyle \eta _{z}=\mathrm {dn} \,\alpha \,\mathrm {sn} \,\beta \,,}$

где используются эллиптические функции Якоби: ${\displaystyle \mathrm {sn} }$, ${\displaystyle \mathrm {cn} }$ и ${\displaystyle \mathrm {dn} }$.

Применение и обобщения

Квантовая механика атома водорода

Рис. 9. Уровни энергии водородного атома, предсказанные с использованием коммутационных соотношений углового момента и векторных операторов Лапласа — Рунге — Ленца; эти уровни энергии были проверены экспериментально.

Скобки Пуассона дают простой способ для квантования классической системы. Коммутатор двух квантовомеханических операторов равняется скобке Пуассона соответствующих классических переменных, умноженной на ${\displaystyle i\hbar }$^[42]. Выполняя это квантование и вычисляя собственные значения С₁ оператора Казимира для проблемы Кеплера, Вольфганг Паули вывел энергетический спектр водородоподобного атома (рис. 9) и, таким образом, его атомный эмиссионный спектр^[3]. Это изящное решение было получено до получения уравнения Шрёдингера^[43].

Особенность квантовомеханического оператора для вектора Лапласа — Рунге — Ленца A заключается в том, что импульс и операторы углового момента не коммутируют друг с другом, следовательно, векторное произведениеp и L должно быть определено тщательно^[44]. Как правило, операторы в декартовой системе координат A_s определены с помощью симметризованного произведения

${\displaystyle A_{s}=-mk{\hat {r}}_{s}+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\varepsilon _{sij}(p_{i}l_{j}-l_{i}p_{j})\,,}$

из которого определяются соответствующие лестничные операторы

${\displaystyle A_{0}=A_{3}\,,}$

${\displaystyle A_{\pm 1}=\mp {\frac {1}{\sqrt {2}}}(A_{1}\pm iA_{2})\,.}$

Нормированный оператор первого инварианта Казимира может быть определён подобным образом

${\displaystyle C_{1}=-{\frac {mk^{2}}{2\hbar ^{2}}}H^{-1}-I\,,}$

где H⁻¹ — оператор, обратный к оператору энергии (гамильтониан) и I — единичный оператор. Применяя эти лестничные операторы к собственным состояниям ${\displaystyle |lmn\rangle }$ операторов полного углового момента, азимутального углового момента и энергии, можно показать, что собственные состояния первого оператора Казимира задаются формулой n²−1. Следовательно, уровни энергии даются выражением

${\displaystyle E_{n}=-{\frac {mk^{2}}{2\hbar ^{2}n^{2}}}\,,}$

которое идентично формуле Ридберга для атома водорода (рис. 9).

Обобщение на другие потенциалы и СТО

Вектор Лапласа — Рунге — Ленца был обобщён на другие потенциалы и даже на специальную теорию относительности. Наиболее общую форму этого вектора можно записать в виде^[14]

${\displaystyle {\mathcal {A}}=\left({\frac {\partial \xi }{\partial u}}\right)(\mathbf {p} \times \mathbf {L} )+\left[\xi -u\left({\frac {\partial \xi }{\partial u}}\right)\right]L^{2}\mathbf {\hat {r}} \,,}$

где ${\displaystyle u=1/r}$ (см. теорема Бертрана) и ${\displaystyle \xi =\cos \theta }$, с углом ${\displaystyle \theta }$, определённым как

${\displaystyle \theta =L\int \limits ^{u}{\frac {du}{\sqrt {m^{2}c^{2}(\gamma ^{2}-1)-L^{2}u^{2}}}}\,.}$

Здесь ${\displaystyle \gamma }$ — релятивистский фактор. Как и раньше, можно получить сохраняющийся вектор бинормали ${\displaystyle \mathbf {B} }$, взяв векторное произведение с сохраняющимся вектором углового момента

${\displaystyle {\mathcal {B}}=\mathbf {L} \times {\mathcal {A}}\,.}$

Эти два вектора можно соединить в сохраняющийся двухкомпонентный тензор W

${\displaystyle {\mathcal {W}}=\alpha {\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {A}}+\beta {\mathcal {B}}\otimes {\mathcal {B}}\,.}$

Для примера вычислим вектор Лапласа — Рунге — Ленца для нерелятивистского изотропного гармонического осциллятора^[14]. Для центральной силы

${\displaystyle \mathbf {F} (r)=-k\mathbf {r} \,,}$

вектор углового момента сохраняется, и поэтому движение происходит в плоскости. Сохраняющийся тензор можно записать в более простом виде:

${\displaystyle \mathbf {W} ={\frac {1}{2m}}\mathbf {p} \otimes \mathbf {p} +{\frac {k}{2}}\mathbf {r} \otimes \mathbf {r} \,,}$

однако векторы p и r не ортогональны, как A и B. Соответствующий вектор Лапласа — Рунге — Ленца принимает более сложный вид

${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {1}{\sqrt {mr^{2}\omega _{0}A-mr^{2}E+L^{2}}}}\{(\mathbf {p} \times \mathbf {L} )+(mr\omega _{0}A-mrE)\mathbf {\hat {r}} \}\,,}$

где ${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$ — частота осциллятора.

Литература

1. Арнольд В. И. . Математические методы классической механики. 5-е изд. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — ISBN 5-354-00341-5.; в сети в электронном виде есть 3-е изд. за 1988 год, см. Добавление 8, на стр. 381
2. Голдстейн Г. . Классическая механика. 2-е изд. — М.: Наука, 1975. — 415 с.
3. Pauli, W. Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik (нем.) // Zeitschrift für Physik : magazin. — 1926. — Bd. 36. — S. 336—363.
4. Hamilton, W. R. The Hodograph, or a new Method of expressing in symbolical Language the Newtonian Law of Attraction (англ.) // Proceedings of the Royal Irish Academy^[англ.] : journal. — 1847. — Vol. 3. — P. 344—353.
5. Хикок Ф. А. . Графики космического полёта. — М.: Машиностроение, 1968. — 133 с. — Гл. 3. Анализ траекторий с помощью полярных диаграмм, с. 42.
6. Гулд Х., Тобочник Я. . Компьютерное моделирование в физике. Т. 1. — М.: Мир, 1990. — 352 с. — ISBN 5-03-001593-0.. — Задача 4.9. Свойства орбит в пространстве скоростей, с. 88.
7. Fock, V. Zur Theorie des Wasserstoffatoms (нем.) // Zeitschrift für Physik : magazin. — 1935. — Bd. 98. — S. 145—154.
8. Bargmann, V. Zur Theorie des Wasserstoffatoms: Bemerkungen zur gleichnamigen Arbeit von V. Fock (нем.) // Zeitschrift für Physik : magazin. — 1936. — Bd. 99. — S. 576—582.
9. Goldstein, H. Prehistory of the Runge-Lenz vector (англ.) // American Journal of Physics : journal. — 1975. — Vol. 43. — P. 735—738.
10. Goldstein, H. More on the prehistory of the Runge-Lenz vector (англ.) // American Journal of Physics : journal. — 1976. — Vol. 44. — P. 1123—1124.
11. Hamilton, W. R. On the Application of the Method of Quaternions to some Dynamical Questions (англ.) // Proceedings of the Royal Irish Academy^[англ.] : journal. — 1847. — Vol. 3. — P. Appendix III, pp. xxxvi—l.
12. Goldstein, H. Classical Mechanics. — 2nd. — Addison Wesley, 1980. — P. 1–11.
13. Symon, K. R. Mechanics. — 3rd. — Addison Wesley, 1971. — P. 103–109, 115–128.
14. Fradkin, D. M. Existence of the Dynamic Symmetries O₄ and SU₃ for All Classical Central Potential Problems (англ.) // Progress of Theoretical Physics^[англ.] : journal. — 1967. — Vol. 37. — P. 798—812.
15. Yoshida, T. Two methods of generalisation of the Laplace-Runge-Lenz vector (англ.) // European Journal of Physics : journal. — 1987. — Vol. 8. — P. 258—259.
16. Hermann, J. Metodo d'investigare l'orbite de' pianeti // Giornale de Letterati D'Italia. — 1710. — Т. 2. — С. 447—467.
17. Hermann, J. Extrait d'une lettre de M. Herman à M. Bernoulli datée de Padoüe le 12. Juillet 1710 (фр.) // Histoire de l'academie royale des sciences (Paris) : magazine. — 1710. — Vol. 1732. — P. 519—521.
18. Bernoulli, J. Extrait de la Réponse de M. Bernoulli à M. Herman datée de Basle le 7. Octobre 1710 (фр.) // Histoire de l'academie royale des sciences (Paris) : magazine. — 1710. — Vol. 1732. — P. 521—544.
19. Laplace P. S. . Traité de mécanique celeste. Tome I, Premiere Partie, Livre II. — Paris, 1799. — P. 165ff.
20. Gibbs J. W., Gibbs E. B. . Vector Analysis. — New York: Scribners, 1901. — 436 p. — P. 135.
21. Runge C. . Vektoranalysis. Bd. I. — Leipzig: Hirzel, 1919. — 436 p.
22. Lenz, W. Über den Bewegungsverlauf und Quantenzustände der gestörten Keplerbewegung (нем.) // Zeitschrift für Physik : magazin. — 1924. — Bd. 24. — S. 197—207.
23. Evans, N. W. Superintegrability in classical mechanics (англ.) // Physical Review A : journal. — 1990. — Vol. 41. — P. 5666—5676.
24. Зоммерфельд А. Atomic Structure and Spectral Lines (англ.). — London: Methuen, 1923. — 118 p.
25. Landau L. D., Lifshitz E. M. Mechanics. — Pergamon Press, 1976. — P. 154. — ISBN 0-08-029141-4. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. — 5-е изд. — М.: Физматлит, 2004. — 224 с. — (Курс теоретической физики, том 1). — ISBN 5-9221-0055-6. — § 15. Кеплерова задача, «сохраняющийся вектор», с. 56; § 52. Условно-периодическое движение, задача с решением в полярных координатах, с. 217.
26. Evans, N. W. Group theory of the Smorodinsky-Winternitz system (англ.) // Journal of Mathematical Physics : journal. — 1991. — Vol. 32. — P. 3369—3375.
27. Dulock, V. A.; McIntosh H. V. On the Degeneracy of the Kepler Problem (англ.) // Pacific Journal of Mathematics : journal. — 1966. — Vol. 19. — P. 39—55.
28. Redmond, P. J. Generalization of the Runge-Lenz Vector in the Presence of an Electric Field (англ.) // Physical Review : journal. — 1964. — Vol. 133. — P. B1352—B1353.
29. Einstein, A. Erklärung der Perihelbeivegung der Merkur aus der allgemeinen Relativitätstheorie (нем.) // Sitzungsberichte der der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften : magazin. — 1915. — Bd. 47, Nr. 2. — S. 831—839.
30. Le Verrier, U. J. J. Sur la théorie de Mercure et sur le mouvement du périhélie de cette planète; Lettre de M. Le Verrier à M. Faye (фр.) // Comptes Rendus de l'Academie de Sciences (Paris) : magazine. — 1859. — Vol. 49. — P. 379—383.[1] Архивная копия от 13 мая 2021 на Wayback Machine
31. Will C. M. . General Relativity, an Einstein Century Survey / Ed. by S. W. Hawking and W. Israel. — Cambridge: Cambridge University Press, 1979.
32. Pais, A. Subtle is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein (англ.). — Oxford University Press, 1982.
33. Пайс, Абрахам. . Научная деятельность и жизнь Альберта Эйнштейна / Под ред. А. А. Логунова. — М.: Наука, 1989. — 566 с. — ISBN 5-02-014028-7.
34. Lévy-Leblond, J. M. (1971). Conservation Laws for Gauge-Invariant Lagrangians in Classical Mechanics. American Journal of Physics. 39 (5): 502–506. Bibcode:1971AmJPh..39..502L. doi:10.1119/1.1986202.
35. Prince, G. E.; Eliezer C. J. On the Lie symmetries of the classical Kepler problem (англ.) // Journal of Physics A: Mathematical and General^[англ.] : journal. — 1981. — Vol. 14. — P. 587—596.
36. Bander, M.; Itzykson C. Group Theory and the Hydrogen Atom (I) (англ.) // Reviews of Modern Physics : journal. — 1966. — Vol. 38. — P. 330—345.
37. Bander, M.; Itzykson C. Group Theory and the Hydrogen Atom (II) (англ.) // Reviews of Modern Physics : journal. — 1966. — Vol. 38. — P. 346—358.
38. Ефимов С.П. Трансформация теории Фока в координатное пространство. Гармонические тензоры в квантовой задаче Кулона (рус.) // УФН : journal. — 2022. — Т. 192. — doi:10.3367/UFNr.2021.04.038966.
39. Rogers, H. H. Symmetry transformations of the classical Kepler problem (англ.) // Journal of Mathematical Physics : journal. — 1973. — Vol. 14. — P. 1125—1129.
40. Guillemin, V.; Sternberg S. Variations on a Theme by Kepler. — American Mathematical Society Colloquium Publications, volume 42, 1990.
41. Lakshmanan, M.; Hasegawa H. On the canonical equivalence of the Kepler problem in coordinate and momentum spaces (англ.) // Journal of Physics A^[англ.] : journal. — Vol. 17. — P. L889—L893.
42. Dirac P. A. M. . Principles of Quantum Mechanics. 4th edition (англ.). — Oxford University Press, 1958.
43. Schrödinger, E. Quantisierung als Eigenwertproblem // Annalen der Physik. — 1926. — Т. 384. — С. 361—376.
44. Bohm A. . Quantum Mechanics: Foundations and Applications. 2nd edition. — Springer Verlag, 1986. — P. 208—222.

Ссылки

• Leach, P.G.L.; G.P. Flessas. Generalisations of the Laplace — Runge — Lenz vector (англ.) // J. Nonlinear Math. Phys.^[англ.] : journal. — 2003. — Vol. 10. — P. 340—423. Статья посвящена обобщению вектора Лапласа — Рунге — Ленца на потенциалы, отличные от кулоновского. arxiv.org Архивная копия от 12 августа 2020 на Wayback Machine