Короткая арифметика Гильберта

Короткая арифметика Гильберта — пример полугруппы, иллюстрирующий тот факт, что для доказательства основной теоремы арифметики необходимо использовать свойства не только умножения, но и сложения. Этот пример принадлежит Давиду Гильберту^[1].

Определение

Короткая арифметика Гильберта представляет собой множество чисел вида ${\displaystyle 4n+1}$, где ${\displaystyle n}$ пробегает все натуральные числа^[2]:

${\displaystyle 1,5,9,13,17,\dots }$

Иногда их называют числа Гильберта^[3]. На этом множестве может быть корректно определена стандартная операция умножения, поскольку произведение двух чисел из множества дает вновь число из этого множества: ${\displaystyle (4a+1)(4b+1)=4(ab+a+b)+1}$. Таким образом, короткая арифметика Гильберта является полугруппой.

Простые числа Гильберта

В арифметике Гильберта можно определить простые числа (простые числа Гильберта^[a]) стандартным образом: число Гильберта называется простым Гильберта, если оно не делится на меньшее число Гильберта (отличное от ${\displaystyle 1}$)^[5][6]. Последовательность простых Гильберта начинается так^[7]:

${\displaystyle 5,9,13,17,21,29,33,37,41,49,\dots }$

Простое число Гильберта не обязательно является простым в обычном смысле. Например, ${\displaystyle 21}$ является составным в натуральных числах, поскольку ${\displaystyle 21=3\cdot 7}$, однако оно является простым Гильберта, поскольку ни ${\displaystyle 3}$, ни ${\displaystyle 7}$ (то есть все делители числа ${\displaystyle 21}$, отличные от ${\displaystyle 1}$ и самого числа) не являются числами Гильберта. Из свойств умножения по модулю ${\displaystyle 4}$ следует, что простое Гильберта является либо простым числом вида ${\displaystyle 4n+1}$ (такие числа называются простыми числами Пифагора), либо полупростым вида ${\displaystyle (4a+3)(4b+3)}$.

Невыполняемость основной теоремы арифметики

Любое число Гильберта может быть разложено на произведение простых чисел Гильберта, однако для короткой арифметики Гильберта не выполняется основная теорема арифметики: такое разложение может быть не единственным. Например, ${\displaystyle 441}$ является числом Гильберта, но разлагается на простых чисел Гильберта двумя способами:

${\displaystyle 441=9\cdot 49=21\cdot 21}$.

где числа ${\displaystyle 9}$, ${\displaystyle 49}$ и ${\displaystyle 21}$ являются простыми Гильберта^[1][4].

Примечания

Комментарии

1. В учебнике Кострикина они названы квазипростыми числами^[4].

Источники

1. Жиков В. В. Основная теорема арифметики // Соросовский образовательный журнал. — 2000. — Т. 6, № 3. — С. 113. Архивировано 23 ноября 2018 года.
2. последовательность A016813 в OEIS
3. Flannery S., Flannery D. In Code: A Mathematical Journey. — Profile Books, 2000. — С. 35.
4. Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977. — С. 72—73. — 496 с.
5. Don Redmond. Number Theory: An Introduction to Pure and Applied Mathematics. — CRC Press, 1996-04-23. — С. 30. — 784 с.
6. James J. Tattersall. Elementary Number Theory in Nine Chapters. — Cambridge University Press, 1999-10-14. — С. 84. — 420 с.
7. последовательность A057948 в OEIS

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Hilbert Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Основная теорема арифметики  (неопр.). Школа Опойцева — Лекции и Уроки. — Видеоурок. Дата обращения: 18 марта 2020.