Числа Каллена

В математике числами Каллена называют натуральные числа вида ${\displaystyle n\cdot 2^{n}+1}$ (пишется C_n). Числа Каллена впервые были изучены ирландским математиком Джеймсом Калленом в 1905. Числа Каллена — это особый вид чисел Прота.

Свойства

В 1976 году Кристофер Хулей (Christopher Hooley) показал, что Плотность последовательности положительных целых ${\displaystyle n\leq x}$, для которых C_n простое, есть o(x) для ${\displaystyle x\to \infty }$. В этом смысле почти все числа Каллена составные. Доказательство Кристофера Хулей было переработано математиком Хирми Суяма чтобы показать, что оно верно для любой последовательности чисел ${\displaystyle n\cdot 2^{n+a}+b}$ где a и b целые числа, и частично также для чисел Вудала. Все известные простые числа Каллена соответствуют n, равному:

1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881 последовательность A005849 в OEIS.

Есть предположение, что имеется бесконечно много простых чисел Каллена.

К августу 2009, наибольшим известным простым числом Каллена было ${\displaystyle 6679881\cdot 2^{6679881}+1}$. Это мегапростое число с 2 010 852 знаками было открыто соучастником PrimeGrid из Японии.^[1]

Числа Каллена C_n делятся на ${\displaystyle p=2n-1}$, если p простое число вида ${\displaystyle 8k-3}$. Это следует из малой теоремы Ферма, так что если p простое нечётное, то p делит C_m(k) для каждого ${\displaystyle m(k)=(2^{k}-k)(p-1)-k}$ (для k > 0). Было также показано, что простое число p делит ${\displaystyle C_{(p+1)/2}}$, когда символ Якоби ${\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)}$ есть −1, и что p делит ${\displaystyle C_{(3p-1)/2}}$, когда символ Якоби ${\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)}$ есть +1.

Неизвестно, существует ли простое число p, такое что C_p тоже простое.

Обобщения

Иногда обобщёнными числами Каллена называют числа вида ${\displaystyle n\cdot b^{n}+1}$, где n + 2 > b. Если простое число может быть записано в такой форме, его называют обобщённым простым числом Каллена. Числа Вудала иногда называют числами Каллена второго рода.

К февралю 2012 года наибольшим известным обобщённым простым числом Каллена было ${\displaystyle 427194\cdot 113^{427194}+1}$. Оно имеет 877 069 знаков и было открыто соучастником PrimeGrid из США.^[2]

Ссылки

1. "The Prime Database: 6679881*2^6679881+1", Chris Caldwell's The Largest Known Primes Database, Архивировано 29 мая 2019, Дата обращения: 22 декабря 2009
2. "The Prime Database: 427194 • 113^427194 + 1", Chris Caldwell's The Largest Known Primes Database, Архивировано 5 ноября 2018, Дата обращения: 30 января 2012

Дальнейшее чтение

• Cullen, James (1905), "Question 15897", Educ. Times: 534 {{citation}}: Неизвестный параметр |month= игнорируется (справка).
• Guy, Richard K. (2004), Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed.), New York: Springer Verlag, pp. section B20, ISBN 0-387-20860-7.
• Hooley, Christopher (1976), Applications of sieve methods, New York: Cambridge University Press, pp. 115—119, ISBN 0-521-20915-3.
• Keller, Wilfrid (1995), "New Cullen Primes" (PDF), Mathematics of Computation, 64 (212): 1733—1741.

Ссылки

• Chris Caldwell, The Top Twenty: Cullen primes at The Prime Pages.
• The Prime Glossary: Cullen number at The Prime Pages.
• Weisstein, Eric W. Cullen number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Cullen prime: definition and status (outdated), Cullen Prime Search is now hosted at PrimeGrid
• Paul Leyland, Generalized Cullen and Woodall Numbers