Гиперсовершенное число

Гиперсовершенное число — k-гиперсовершенное число для некоторого целого k. k-гиперсовершенное число — натуральное число n, для которого верно

${\displaystyle n=1+k\cdot \left(\sigma \left(n\right)-n-1\right)}$

где σ(n) — это функция делителей (то есть сумма всех положительных делителей числа).

Гиперсовершенные числа — обобщение совершенных чисел, которые являются 1-гиперсовершенными.

Первые члены последовательности гиперсовершенных чисел это 6, 21, 28, 301, 325, 496, 697, … (последовательность A034897 в OEIS), с соответствующими значениями k 1, 2, 1, 6, 3, 1, 12, … (последовательность A034898 в OEIS). Первые гиперсовершенные числа, которые не являются совершенными — 21, 301, 325, 697, 1333, … (последовательность A007592 в OEIS).

Список гиперсовершенных чисел

Следующая таблица приводит некоторые последовательности k-гиперсовершенных чисел для некоторых k.

k	OEIS	Некоторые известные числа
1	A000396	6, 28, 496, 8128, 33550336, …
2	A007593	21, 2133, 19521, 176661, 129127041, …
3		325, …
4		1950625, 1220640625, …
6	A028499	301, 16513, 60110701, 1977225901, …
10		159841, …
11		10693, …
12	A028500	697, 2041, 1570153, 62722153, 10604156641, 13544168521, …
18	A028501	1333, 1909, 2469601, 893748277, …
19		51301, …
30		3901, 28600321, …
31		214273, …
35		306181, …
40		115788961, …
48		26977, 9560844577, …
59		1433701, …
60		24601, …
66		296341, …
75		2924101, …
78		486877, …
91		5199013, …
100		10509080401, …
108		275833, …
126		12161963773, …
132		96361, 130153, 495529, …
136		156276648817, …
138		46727970517, 51886178401, …
140		1118457481, …
168		250321, …
174		7744461466717, …
180		12211188308281, …
190		1167773821, …
192		163201, 137008036993, …
198		1564317613, …
206		626946794653, 54114833564509, …
222		348231627849277, …
228		391854937, 102744892633, 3710434289467, …
252		389593, 1218260233, …
276		72315968283289, …
282		8898807853477, …
296		444574821937, …
342		542413, 26199602893, …
348		66239465233897, …
350		140460782701, …
360		23911458481, …
366		808861, …
372		2469439417, …
396		8432772615433, …
402		8942902453, 813535908179653, …
408		1238906223697, …
414		8062678298557, …
430		124528653669661, …
438		6287557453, …
480		1324790832961, …
522		723378252872773, 106049331638192773, …
546		211125067071829, …
570		1345711391461, 5810517340434661, …
660		13786783637881, …
672		142718568339485377, …
684		154643791177, …
774		8695993590900027, …
810		5646270598021, …
814		31571188513, …
816		31571188513, …
820		1119337766869561, …
968		52335185632753, …
972		289085338292617, …
978		60246544949557, …
1050		64169172901, …
1410		80293806421, …
2772	A028502	95295817, 124035913, …
3918		61442077, 217033693, 12059549149, 60174845917, …
9222		404458477, 3426618541, 8983131757, 13027827181, …
9828		432373033, 2797540201, 3777981481, 13197765673, …
14280		848374801, 2324355601, 4390957201, 16498569361, …
23730		2288948341, 3102982261, 6861054901, 30897836341, …
31752	A034916	4660241041, 7220722321, 12994506001, 52929885457, 60771359377, …
55848		15166641361, 44783952721, 67623550801, …
67782		18407557741, 18444431149, 34939858669, …
92568		50611924273, 64781493169, 84213367729, …
100932		50969246953, 53192980777, 82145123113, …

Можно доказать, что если k > 1 это нечетное целое число, а p = (3k + 1) / 2 и q = 3k + 4 — простые числа, тогда p²q k-гиперсовершенное; В 2000 году Джадсон С. Маккрани предположил, что все k-гиперсовершенные числа для нечетного k > 1 имеют такую форму, но эта гипотеза пока не доказана. Кроме того, можно доказать, что если p ≠ q — нечетные простые числа, а k — целое число, такое, что k (p + q) = pq — 1, то pq k-гиперсовершенное.

Можно также показать, что если k>0 и p = k + 1 просто, то для всех i>1 таких, что ${\displaystyle q=p^{i}-p+1}$ — простое, ${\displaystyle n=p^{i-1}\cdot q}$ является k-гиперсовершенным.

В следующей таблице перечислены известные значения k и соответствующие значения i, для которых n является k-гиперсовершенным:

k	OEIS	Значения i
16	A034922	11, 21, 127, 149, 469, …
22		17, 61, 445, …
28		33, 89, 101, …
36		67, 95, 341, …
42	A034923	4, 6, 42, 64, 65, …
46	A034924	5, 11, 13, 53, 115, …
52		21, 173, …
58		11, 117, …
72		21, 49, …
88	A034925	9, 41, 51, 109, 483, …
96		6, 11, 34, …
100	A034926	3, 7, 9, 19, 29, 99, 145, …

Гипердефицитность

Недавно введенная математическая концепция гипернедостаточных чисел связана с гиперсовершенными числами.

Определение (Миноли 2010): Для любого целого числа n и для целого k, -∞ <k <∞ определим k-гипердефицитность (или просто гипердефицитность) как

   δk(n) = n(k+1) +(k-1) –kσ(n)

Число n называется k-гипернедостаточным, если δ_k(n) > 0.

Заметим, что при k = 1 получается δ₁(n) = 2n-σ(n), что является стандартным традиционным определением недостаточного числа.

Лемма: число n является k-гиперсовершенным (включая k = 1) тогда и только тогда, когда k-гипердефицитность n, δ_k(n) = 0.

Лемма: число n является k-гиперсовершенным (включая k = 1), тогда и только тогда, когда для некоторого k, δ_k-j(n) = -δ_{k + j}(n) для хотя бы одного j>0.

Примечания

Литература

Статьи

• Minoli, Daniel; Bear, Robert (Fall 1975), "Hyperperfect numbers", Pi Mu Epsilon Journal, 6 (3): 153—157.
• Minoli, Daniel (Dec 1978), "Sufficient forms for generalized perfect numbers", Annales de la Faculté des Sciences UNAZA, 4 (2): 277—302.
• Minoli, Daniel (Feb 1981), "Structural issues for hyperperfect numbers", Fibonacci Quarterly, 19 (1): 6—14.
• Minoli, Daniel (April 1980), "Issues in non-linear hyperperfect numbers", Mathematics of Computation, 34 (150): 639—645, doi:10.2307/2006107.
• Minoli, Daniel (October 1980), "New results for hyperperfect numbers", Abstracts of the American Mathematical Society, 1 (6): 561.
• Minoli, Daniel; Nakamine, W. (1980), "Mersenne numbers rooted on 3 for number theoretic transforms", International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing.
• McCranie, Judson S. (2000), "A study of hyperperfect numbers", Journal of Integer Sequences, 3, Архивировано из оригинала 5 апреля 2004, Дата обращения: 29 июля 2017 Архивная копия от 5 апреля 2004 на Wayback Machine.
• te Riele, Herman J.J. (1981), "Hyperperfect numbers with three different prime factors", Math. Comp., 36: 297—298, doi:10.1090/s0025-5718-1981-0595066-9, MR 0595066, Zbl 0452.10005.
• te Riele, Herman J.J. (1984), "Rules for constructing hyperperfect numbers", Fibonacci Q., 22: 50—60, Zbl 0531.10005.

Книги

• Handbook of number theory I (неопр.) / Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav. — Dordrecht: Springer-Verlag, 2006. — С. 114. — ISBN 1-4020-4215-9.
• Daniel Minoli, Voice over MPLS, McGraw-Hill, New York, NY, 2002, ISBN 0-07-140615-8 (p. 114—134)

Ссылки

• MathWorld: Hyperperfect number Архивная копия от 15 августа 2017 на Wayback Machine
• A long list of hyperperfect numbers under Data