Группа Титса

Группа Титса J₂, названная именем Жака Титса, — это конечная простая группа порядка

17 971 200 = 2¹¹ • 3³ • 5² • 13 ≈ 2⋅10⁷.

Иногда группа считается 27-й спорадической группой.

История и свойства

Группы Ри ²F₄(2²ⁿ⁺¹) построил Римхак Ри^[1]. Он показал, что эти группы являются простыми, если n ≥ 1. Первый член этой последовательности ²F₄(2) не является простым. Группу исследовал Жак Титс^[2] и показал, что она почти проста, её коммутант ²F₄(2)′ с индексом 2 является другой простой группой, которая носит теперь имя «группа Титса». Группа ²F₄(2) является группой лиева типа и имеет пару (B, N), но сама группа Титса пары (B, N) не имеет. Поскольку группа Титса не является строго группой лиева типа, её иногда считают 27-й спорадической группой^[3]

Мультипликатор Шура группы Титса тривиален, её группа внешних автоморфизмов^[англ.] имеет порядок 2, а полная группа автоморфизмов — группа ²F₄(2).

Группа Титса является максимальной подгруппой группы Фишера Fi22^[англ.]. Группа ²F₄(2) является также максимальной подгруппой группы Рудвалиса как точечный стабилизатор перестановочное действие ранга 3 на 4060 = 1 + 1755 + 2304 точках.

Группа Титса является одной из простых N-групп и она была пропущена Джоном Г. Томпсоном в первом сообщении о классификации простых N-групп, поскольку к тому моменту группа не была открыта.

Группа является также одной из тонких групп.

Группу Титса описывали различными способами Паррот в 1972/73 годах^[4][5] и Строт^[6].

Представления

Группу Титса можно определить в терминах генераторов и отношений

${\displaystyle a^{2}=b^{3}=(ab)^{13}=[a,b]^{5}=[a,bab]^{4}=(ababababab^{-1})^{6}=1,\,}$

где [a, b] — коммутатор. Он имеет внешний автоморфизм^[англ.], который получается путём перевода (a, b) в (a, bbabababababbababababa).

Максимальные подгруппы

Уилсон^[7] и Чакериан^[8] независимо нашли 8 классов максимальных подгрупп группы Титса:

L₃(3):2 Два класса, связанные внешним автоморфизмом. Эти подгруппы оставляют неподвижными точки ранга 4 перестановочных представлений.

2.[2⁸].5.4 Централизатор инволюции.

L₂(25)

2².[2⁸].S₃

A₆.2² (Два класса, связанные внешним автоморфизмом)

5²:4A₄

Примечания

1. Ree, 1961.
2. Tits, 1964.
3. Например, в книге «ATLAS of Finite Groups»^[англ.] и её WEB-варианте Архивная копия от 8 января 2012 на Wayback Machine
4. Parrott, 1972.
5. Parrott, 1973.
6. Stroth, 1980.
7. Wilson, 1984.
8. Tchakerian, 1986.

Литература

• Parrott D. A characterization of the Tits' simple group // Canadian Journal of Mathematics. — 1972. — Т. 24. — С. 672–685. — ISSN 0008-414X. — doi:10.4153/cjm-1972-063-0.
• Parrott D. A characterization of the Ree groups ²F₄(q) // Journal of Algebra. — 1973. — Т. 27. — С. 341–357. — ISSN 0021-8693. — doi:10.1016/0021-8693(73)90109-9.
• Ree R. A family of simple groups associated with the simple Lie algebra of type (F₄) // Bulletin of the American Mathematical Society. — 1961. — Т. 67. — С. 115–116. — ISSN 0002-9904. — doi:10.1090/S0002-9904-1961-10527-2.
• Stroth G. A general characterization of the Tits simple group // Journal of Algebra. — 1980. — Т. 64, вып. 1. — С. 140–147. — ISSN 0021-8693. — doi:10.1016/0021-8693(80)90138-6.
• Tchakerian K.B. The maximal subgroups of the Tits simple group // Pliska Studia Mathematica Bulgarica. — 1986. — Т. 8. — С. 85–93. — ISSN 0204-9805.
• Tits J. Algebraic and abstract simple groups // Annals of Mathematics. Second Series. — 1964. — Т. 80. — С. 313–329. — ISSN 0003-486X. — JSTOR 1970394.
• Wilson R.A. The geometry and maximal subgroups of the simple groups of A. Rudvalis and J. Tits // Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series. — 1984. — Т. 48, вып. 3. — С. 533–563. — ISSN 0024-6115. — doi:10.1112/plms/s3-48.3.533.

Ссылки

• ATLAS of Group Representations — The Tits Group Архивная копия от 16 июля 2011 на Wayback Machine