Унитарная группа

Унитарной группой (обозначается ${\displaystyle U(n)}$) — подгруппа группы ${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$ невырожденных линейных преобразований пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n},}$ состоящая из так называемых унитарных линейных преобразований, то есть преобразований, сохраняющих эрмитово скалярное произведение в пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$

А именно, если ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ — эрмитово скалярное произведение, то линейное преобразование ${\displaystyle A:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{n}}$ унитарное, если

${\displaystyle \forall x,y\in \mathbb {C} ^{n}\quad \langle A(x),A(y)\rangle =\langle x,y\rangle .}$

Свойства

• Определитель унитарного преобразования — комплексное число, по модулю равное ${\displaystyle 1}$. Унитарные преобразования с определителем ${\displaystyle 1}$ образуют подгруппу специальных унитарных преобразований ${\displaystyle SU(n)}$ в ${\displaystyle U(n).}$

Вариации и обобщения

• Если вместо эрмитова скалярного произведения взять произведение

  ${\displaystyle \langle x,y\rangle =x_{1}{\bar {y}}_{1}+\dots +x_{p}{\bar {y}}_{p}-x_{p+1}{\bar {y}}_{p+1}-\dots -x_{p+q}{\bar {y}}_{p+q},}$

то полученная группа обозначается ${\displaystyle U(p,q)}$

Литература

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре, — Любое издание.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия (методы и приложения), — Любое издание.
• Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии, — Факториал, Москва, 2000.
• Постников М. М. Линейная алгебра и дифференциальная геометрия, — Любое издание.

См. также

• U(1)