Знакопеременная группа

Знакопеременная группа перестановок (подстановок) степени n — подгруппа симметрической группы ${\displaystyle S_{n}}$ степени ${\displaystyle n}$, содержащая только чётные перестановки^[1].

Обычно обозначается ${\displaystyle A_{n}}$.

Свойства

• Индекс подгруппы знакопеременной группы в симметрической равен 2:

  ${\displaystyle [S_{n}:A_{n}]=2.}$

• Знакопеременная группа является нормальной подгруппой симметрической группы (следует из предыдущего утверждения).
• Порядок знакопеременной группы равен:

  ${\displaystyle |A_{n}|=n!/2.}$

• Знакопеременная группа является коммутантом симметрической группы: ${\displaystyle [S_{n},S_{n}]=A_{n}.}$
• При ${\displaystyle n\geq 5}$ знакопеременная группа ${\displaystyle A_{n}}$ является простой.
• Знакопеременная группа разрешима тогда и только тогда, когда её порядок не больше 4. Точнее, ${\displaystyle A_{2}=\{e\},A_{3}\cong \mathbb {Z} _{3},[A_{4};A_{4}]\cong V_{4}}$ - четверной группе Клейна, а при ${\displaystyle n\geqslant 5\ [A_{n};A_{n}]\cong A_{n}}$.
• Группа ${\displaystyle A_{n}}$ имеет представление

  ${\displaystyle A_{n}=\langle s_{3},...,s_{n}|(s_{i})^{3}=1,(s_{i}s_{j})^{2}=1(3\leqslant i\neq j\leqslant n)\rangle }$

здесь ${\displaystyle s_{i}\to (12i)}$.

Примечания

1. Н. Н. Вильямс. Знакопеременная группа // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1979. — Т. 2: Д — Коо. — 1104 стб. : ил. — 150 000 экз.